자연계열 1번

(ii) 사면체 $\displaystyle \mathrm{OBDE}$의 높이 구하기 :점 $\displaystyle \mathrm B,\mathrm D,\mathrm E$를 지나는 평면의 방정식을 $\displaystyle px+qy+rz+t=0$이라 하고, $\displaystyle (x,y,z)$에 $\displaystyle \mathrm B,\mathrm D,\mathrm E$의 좌표 $\displaystyle (b,0,a)$,$\displaystyle (0,c,a)$, $\displaystyle (0,0,0)$을 각각 대입하면 평면의 방정식은 $\displaystyle acx+aby-bcz=0$이다. 사면체 $\displaystyle \mathrm{OBDE}$의 높이 $\displaystyle h$는점 $\displaystyle \mathrm O$와 평면 $\displaystyle acx+aby-bcz=0$ 사이의 거리와 같으므로, $\displaystyle h$의 값은 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle h=\frac{abc}{2\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}$

삼각형 $\displaystyle \mathrm{BDE}$의 각 변의 길이는 $\displaystyle \alpha=\sqrt{b^2+c^2}$, $\displaystyle \beta=\sqrt{a^2+c^2}$, $\displaystyle \gamma=\sqrt{a^2+b^2}$이다.제시문 (다)에서 주어진 식을 적용하기 위하여 $\displaystyle s=\frac12(\alpha+\beta+\gamma)$라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BDE}$의 넓이 $\displaystyle \Omega$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}\Omega^2&=s(s-\alpha)(s-\beta)(s-\gamma)\\&=\frac1{16}[(\beta+\gamma)^2-\alpha^2][\alpha^2-(\beta-\gamma)^2]\end{aligned}$그런데,$\displaystyle (\beta+\gamma)^2-\alpha^2=2(a^2+\sqrt{a^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2})$, $\displaystyle \alpha^2-(\beta-\gamma)^2=2(-a^2+\sqrt{a^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2})$이므로,$\displaystyle \Omega^2=\frac14(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$이고 따라서 $\displaystyle \Omega=\frac12\sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}$을 얻는다.

[논제 2]논제 1의 결과로부터, 구의 반지름의 길이 $\displaystyle R=\frac12\sqrt{a^2+b^2+c^2}$를 얻는다.$\displaystyle \overline{\mathrm{BE}}=\sqrt{a^2+b^2}$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OEB}$에 코사인 법칙을 적용하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}}^2=\overline{\mathrm{OB}}^2+\overline{\mathrm{OE}}^2-2\overline{\mathrm{OB}}\,\overline{\mathrm{OE}}\cos\theta$,즉 $\displaystyle a^2+b^2=2R^2-2R^2\cos\theta$이다. 그런데 논제의 조건에서 $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=1$, $\displaystyle c=\sqrt6$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$이고,따라서 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$이다. 그러므로 $\displaystyle l(\mathrm B,\mathrm E)=R\theta=\frac{\sqrt2\pi}3$이다.