수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1번

단국대 2014학년도 수시2차 논술(오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2014su_pm/jayeon_1

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단국대 2014학년도 수시2차 논술(오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2014su_pm/jayeon_1

[논제 1]D\displaystyle \mathrm D의 좌표: (1−t)(0,1)+t(2,1)=(2t,1)\displaystyle (1-t)(0,1)+t(2,1)=(2t,1)E\displaystyle \mathrm E의 좌표: (1−t)(2,1)+t(2,0)=(2,1−t)\displaystyle (1-t)(2,1)+t(2,0)=(2,1-t)P\displaystyle \mathrm P의 좌표: (1−t)(2t,1)+t(2,1−t)=(4t−2t2,1−t2)\displaystyle (1-t)(2t,1)+t(2,1-t)=(4t-2t^2,1-t^2)

점 P\displaystyle \mathrm P의 자취를 매개변수 형식으로 표현하면,{x=−2t2+4ty=−t2+1\displaystyle \begin{cases}x=-2t^2+4t\\y=-t^2+1\end{cases}　(단, 0<t<1\displaystyle 0<t<1)이다. 매개변수 형식의 표현으로부터x−2y=4t−2\displaystyle x-2y=4t-2　… (1)이다. 식 (1)을 변수 t\displaystyle t에 관해 정리하면t=x−2y+24\displaystyle t=\frac{x-2y+2}4　… (2)이다. 식 (2)를 y=−t2+1\displaystyle y=-t^2+1에 대입하면,y=−(x−2y+24)2+1\displaystyle y=-\left(\frac{x-2y+2}4\right)^2+1이고 이를 정리하면x2−4xy+4y2+4x+8y−12=0\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0이다. 따라서 a1=−4\displaystyle a_1=-4, a2=4\displaystyle a_2=4, a3=4\displaystyle a_3=4, a4=8\displaystyle a_4=8, a5=−12\displaystyle a_5=-12.

+3점 · (x′y′)=(−121−1)(xy)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} 또는 (xy)=(1211)(x′y′)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}를 제시한 경우

[논제 2]주어진 일차변환을 나타내는 관계식x′=−x+2yy′=x−y\displaystyle \begin{aligned}x^{\prime}&=-x+2y\\y^{\prime}&=x-y\end{aligned}

+5점 · x′=−4t+2\displaystyle x^{\prime}=-4t+2, y′=−t2+4t−1\displaystyle y^{\prime}=-t^2+4t-1를 제시하거나 x=x′+2y′\displaystyle x=x^{\prime}+2y^{\prime}, y=x′+y′\displaystyle y=x^{\prime}+y^{\prime}을 x2−4xy+4y2+4x+8y−12=0\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0에 대입한 경우

에 곡선 α\displaystyle \alpha의 매개변수 형식x=−2t2+4ty=−t2+1\displaystyle \begin{aligned}x&=-2t^2+4t\\y&=-t^2+1\end{aligned}을 대입하면 변환된 곡선 상의 한 점 (x′,y′)\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})의 좌표를 매개변수 t\displaystyle t에 관해 표현할 수 있다.x′=−4t+2y′=−t2+4t−1\displaystyle \begin{aligned}x^{\prime}&=-4t+2\\y^{\prime}&=-t^2+4t-1\end{aligned}

즉, 변환된 곡선의 매개변수 형식은 다음과 같다.x=−4t+2⋯ (1)y=−t2+4t−1⋯ (2)\displaystyle \begin{aligned}x&=-4t+2&&\cdots\ (1)\\y&=-t^2+4t-1&&\cdots\ (2)\end{aligned}식 (1)을 변수 t\displaystyle t에 관해 풀면 다음과 같다.t=−x+24\displaystyle t=\frac{-x+2}4이를 식 (2)에 대입하면,y=−t2+4t−1=−(−x+24)2+4(−x+24)−1=116(−x2−12x+12)\displaystyle y=-t^2+4t-1=-\left(\frac{-x+2}4\right)^2+4\left(\frac{-x+2}4\right)-1=\frac1{16}(-x^2-12x+12)즉, 변환된 곡선의 명시적 표현은 아래와 같다.y=−116x2−34x+34\displaystyle y=-\frac1{16}x^2-\frac34x+\frac34따라서g(x)=−116x2−34x+34\displaystyle g(x)=-\frac1{16}x^2-\frac34x+\frac34

한편 식 (1)에 의하면 변환된 곡선의 x\displaystyle x 좌표가 변수 t\displaystyle t에 관한 일차식으로 표현되므로 변수 t\displaystyle t가 0\displaystyle 0과 1\displaystyle 1사이에서 변할 때, x\displaystyle x 좌표의 범위가 아래와 같음을 쉽게 알 수 있다.−4⋅1+2<x<4⋅0+2\displaystyle -4\cdot1+2<x<4\cdot0+2즉,−2<x<2\displaystyle -2<x<2따라서 a=−2\displaystyle a=-2이고 b=2\displaystyle b=2.

+3점 · (x′y′)=(−121−1)(xy)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} 또는 (xy)=(1211)(x′y′)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}를 제시한 경우

<별해>주어진 일차변환을 나타내는 행렬을 이용한 관계식(x′y′)=(−121−1)(xy)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}의 양변에 (−121−1)\displaystyle \begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}의 역행렬 (1211)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}를 곱하여 다음의 역변환의 관계식을 얻는다.(xy)=(1211)(x′y′)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}

+5점 · x′=−4t+2\displaystyle x^{\prime}=-4t+2, y′=−t2+4t−1\displaystyle y^{\prime}=-t^2+4t-1를 제시하거나 x=x′+2y′\displaystyle x=x^{\prime}+2y^{\prime}, y=x′+y′\displaystyle y=x^{\prime}+y^{\prime}을 x2−4xy+4y2+4x+8y−12=0\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0에 대입한 경우

곡선 α\displaystyle \alpha의 암시적 형식 x2−4xy+4y2+4x+8y−12=0\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0에 치환x=x′+2y′\displaystyle x=x^{\prime}+2y^{\prime}, y=x′+y′\displaystyle y=x^{\prime}+y^{\prime}을 적용한 후 (x′,y′)\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})을 (x,y)\displaystyle (x,y)로 바꾸어 표기하면 다음의 변환된 곡선을 얻을 수 있다.(x+2y)2−4(x+2y)(x+y)+4(x+y)2+4(x+2y)+8(x+y)−12=0\displaystyle (x+2y)^2-4(x+2y)(x+y)+4(x+y)^2+4(x+2y)+8(x+y)-12=0

이를 정리하면x2+12x+16y−12=0\displaystyle x^2+12x+16y-12=0이다. 이 곡선을 명시적으로 표현하면 다음과 같다.y=−116x2−34x+34\displaystyle y=-\frac1{16}x^2-\frac34x+\frac34따라서g(x)=−116x2−34x+34\displaystyle g(x)=-\frac1{16}x^2-\frac34x+\frac34

논제 1 평가기준배점
P\displaystyle \mathrm P의 자취를 주어진 매개변수 형식으로 제시한 경우10점
곡선을 주어진 형태가 아닌 다른 형태의 암시적 형식으로 표현한 경우 (예를 들어, −x+41−y−2(1−y)=0\displaystyle -x+4\sqrt{1-y}-2(1-y)=0, y−4−x2−x24+1=0\displaystyle y-\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}4+1=0과 같은 표현에도 점수 부여)5점

Correction. 채점기준의 y−4−x2−x24+1=0\displaystyle y-\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}4+1=0은 주어진 매개식을 만족하지 않는다. x=4t−2t2\displaystyle x=4t-2t^2, y=1−t2\displaystyle y=1-t^2에서 t\displaystyle t를 소거하면 y−4−2x−x2+1=0 (0<x<2)\displaystyle y-\sqrt{4-2x}-\frac x2+1=0\ (0<x<2)이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

음함수 x2−4xy+4y2+4x+8y−12=0\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0로 답을 구한 경우에도 만점(20점) 부여20점

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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