자연계열 1번

단국대 2014학년도 수시2차 논술(오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2014su_pm/jayeon_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (35점)

<제시문>

(가) 좌표평면 위의 곡선은 여러 가지 방법으로 표현할 수 있다. 예를 들어, 아래의 (A), (B), (C)는모두 동일한 반원을 나타낸다.(A) $\displaystyle y=\sqrt{1-x^2}$ 　(단, $\displaystyle -1\le x\le1$ )(B) $\displaystyle x^2+y^2-1=0$ 　(단, $\displaystyle -1\le x\le1$ , $\displaystyle 0\le y\le1$ )(C) $\displaystyle \begin{cases}x=\cos t\\y=\sin t\end{cases}$ 　(단, $\displaystyle 0\le t\le\pi$ )어떤 곡선을 (A)와 같이 $\displaystyle y=f(x)$ 의 꼴로 표현하면 명시적 형식, (B)와 같이 $\displaystyle f(x,y)=0$ 의 꼴로표현하면 암시적 형식, (C)와 같이 $\displaystyle \begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}$ 의 꼴로 표현하면 매개변수 형식으로 곡선을표현하였다고 하자.

(나) 점 $\displaystyle \mathrm A$ 와 점 $\displaystyle \mathrm B$ 를 $\displaystyle t:(1-t)$ 로 내분하는 점 $\displaystyle \mathrm C$ 는 임의의 점 $\displaystyle \mathrm Q$ 에 대하여 다음을 만족시킨다.(단, $\displaystyle 0<t<1$ 이다.) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QC}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{QA}}+t\overrightarrow{\mathrm{QB}}$

좌표평면 위의 세 점 $\displaystyle \mathrm A(0,1)$ , $\displaystyle \mathrm B(2,1)$ , $\displaystyle \mathrm C(2,0)$ 에 대하여, 점 $\displaystyle \mathrm A$ 와 점 $\displaystyle \mathrm B$ 를 $\displaystyle t:(1-t)$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm D$ 라하고, 점 $\displaystyle \mathrm B$ 와 점 $\displaystyle \mathrm C$ 를 $\displaystyle t:(1-t)$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm E$ 라 하자. 그리고 점 $\displaystyle \mathrm D$ 와 점 $\displaystyle \mathrm E$ 를 $\displaystyle t:(1-t)$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm P$ 라 하자. $\displaystyle 0<t<1$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 자취를 $\displaystyle \alpha$ 라 할 때, [논제 1], [논제 2]에 답하시오.

[논제 1] 곡선 $\displaystyle \alpha$ 를 매개변수 형식으로 표현하시오. 그리고 그 결과를 이용하면 곡선 $\displaystyle \alpha$ 를 다음과 같은암시적 형식으로 표현할 수 있다. $\displaystyle x^2+a_1xy+a_2y^2+a_3x+a_4y+a_5=0$ (단, $\displaystyle 0<x<2$ , $\displaystyle 0<y<1$ )상수 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_3$ , $\displaystyle a_4$ , $\displaystyle a_5$ 를 구하시오. (20점)

[논제 2] 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}$ 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 $\displaystyle \alpha$ 가 옮겨지는 곡선을 명시적으로 표현하면 $\displaystyle y=g(x)$ 　(단, $\displaystyle a<x<b$ )이다. 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 와 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

단국대 2014학년도 수시2차 논술(오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2014su_pm/jayeon_1

[논제 1] $\displaystyle \mathrm D$ 의 좌표: $\displaystyle (1-t)(0,1)+t(2,1)=(2t,1)$ $\displaystyle \mathrm E$ 의 좌표: $\displaystyle (1-t)(2,1)+t(2,0)=(2,1-t)$ $\displaystyle \mathrm P$ 의 좌표: $\displaystyle (1-t)(2t,1)+t(2,1-t)=(4t-2t^2,1-t^2)$

점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 자취를 매개변수 형식으로 표현하면, $\displaystyle \begin{cases}x=-2t^2+4t\\y=-t^2+1\end{cases}$ 　(단, $\displaystyle 0<t<1$ )이다. 매개변수 형식의 표현으로부터 $\displaystyle x-2y=4t-2$ 　… (1)이다. 식 (1)을 변수 $\displaystyle t$ 에 관해 정리하면 $\displaystyle t=\frac{x-2y+2}4$ 　… (2)이다. 식 (2)를 $\displaystyle y=-t^2+1$ 에 대입하면, $\displaystyle y=-\left(\frac{x-2y+2}4\right)^2+1$ 이고 이를 정리하면 $\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0$ 이다. 따라서 $\displaystyle a_1=-4$ , $\displaystyle a_2=4$ , $\displaystyle a_3=4$ , $\displaystyle a_4=8$ , $\displaystyle a_5=-12$ .

+3점 ·

\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

또는

\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}

를 제시한 경우

[논제 2]주어진 일차변환을 나타내는 관계식 $\displaystyle \begin{aligned}x^{\prime}&=-x+2y\\y^{\prime}&=x-y\end{aligned}$

+5점 ·

\displaystyle x^{\prime}=-4t+2

\displaystyle y^{\prime}=-t^2+4t-1

를 제시하거나

\displaystyle x=x^{\prime}+2y^{\prime}

\displaystyle y=x^{\prime}+y^{\prime}

을

\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0

에 대입한 경우

에 곡선 $\displaystyle \alpha$ 의 매개변수 형식 $\displaystyle \begin{aligned}x&=-2t^2+4t\\y&=-t^2+1\end{aligned}$ 을 대입하면 변환된 곡선 상의 한 점 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$ 의 좌표를 매개변수 $\displaystyle t$ 에 관해 표현할 수 있다. $\displaystyle \begin{aligned}x^{\prime}&=-4t+2\\y^{\prime}&=-t^2+4t-1\end{aligned}$

즉, 변환된 곡선의 매개변수 형식은 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}x&=-4t+2&&\cdots\ (1)\\y&=-t^2+4t-1&&\cdots\ (2)\end{aligned}$ 식 (1)을 변수 $\displaystyle t$ 에 관해 풀면 다음과 같다. $\displaystyle t=\frac{-x+2}4$ 이를 식 (2)에 대입하면, $\displaystyle y=-t^2+4t-1=-\left(\frac{-x+2}4\right)^2+4\left(\frac{-x+2}4\right)-1=\frac1{16}(-x^2-12x+12)$ 즉, 변환된 곡선의 명시적 표현은 아래와 같다. $\displaystyle y=-\frac1{16}x^2-\frac34x+\frac34$ 따라서 $\displaystyle g(x)=-\frac1{16}x^2-\frac34x+\frac34$

한편 식 (1)에 의하면 변환된 곡선의 $\displaystyle x$ 좌표가 변수 $\displaystyle t$ 에 관한 일차식으로 표현되므로 변수 $\displaystyle t$ 가 $\displaystyle 0$ 과 $\displaystyle 1$ 사이에서 변할 때, $\displaystyle x$ 좌표의 범위가 아래와 같음을 쉽게 알 수 있다. $\displaystyle -4\cdot1+2<x<4\cdot0+2$ 즉, $\displaystyle -2<x<2$ 따라서 $\displaystyle a=-2$ 이고 $\displaystyle b=2$ .

+3점 ·

\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

또는

\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}

를 제시한 경우

<별해>주어진 일차변환을 나타내는 행렬을 이용한 관계식 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ 의 양변에 $\displaystyle \begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}$ 의 역행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}$ 를 곱하여 다음의 역변환의 관계식을 얻는다. $\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}$

+5점 ·

\displaystyle x^{\prime}=-4t+2

\displaystyle y^{\prime}=-t^2+4t-1

를 제시하거나

\displaystyle x=x^{\prime}+2y^{\prime}

\displaystyle y=x^{\prime}+y^{\prime}

을

\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0

에 대입한 경우

곡선 $\displaystyle \alpha$ 의 암시적 형식 $\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0$ 에 치환 $\displaystyle x=x^{\prime}+2y^{\prime}$ , $\displaystyle y=x^{\prime}+y^{\prime}$ 을 적용한 후 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$ 을 $\displaystyle (x,y)$ 로 바꾸어 표기하면 다음의 변환된 곡선을 얻을 수 있다. $\displaystyle (x+2y)^2-4(x+2y)(x+y)+4(x+y)^2+4(x+2y)+8(x+y)-12=0$

이를 정리하면 $\displaystyle x^2+12x+16y-12=0$ 이다. 이 곡선을 명시적으로 표현하면 다음과 같다. $\displaystyle y=-\frac1{16}x^2-\frac34x+\frac34$ 따라서 $\displaystyle g(x)=-\frac1{16}x^2-\frac34x+\frac34$

논제 1 평가기준	배점
$\displaystyle \mathrm P$ 의 자취를 주어진 매개변수 형식으로 제시한 경우	10점
곡선을 주어진 형태가 아닌 다른 형태의 암시적 형식으로 표현한 경우 (예를 들어, $\displaystyle -x+4\sqrt{1-y}-2(1-y)=0$ , $\displaystyle y-\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}4+1=0$ 과 같은 표현에도 점수 부여)	5점
Correction. 채점기준의 $\displaystyle y-\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}4+1=0$ 은 주어진 매개식을 만족하지 않는다. $\displaystyle x=4t-2t^2$ , $\displaystyle y=1-t^2$ 에서 $\displaystyle t$ 를 소거하면 $\displaystyle y-\sqrt{4-2x}-\frac x2+1=0\ (0<x<2)$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.
음함수 $\displaystyle x^2-4xy+4y^2+4x+8y-12=0$ 로 답을 구한 경우에도 만점(20점) 부여	20점

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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