자연계열 2번

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하지 않을 때 $\displaystyle f(x)$에 어떤 함수 $\displaystyle g(x)$를 합성하여 얻은 함수$\displaystyle (g\circ f)(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분가능할 수도 있다. 예를 들어 $\displaystyle f(x)=\sqrt{|x|}$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하지 않지만 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)=\sqrt[8]{x^8+2}$의 합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)=\sqrt[8]{x^4+2}$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하다.

(나) 함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}f_1(x),&x\le a\\f_2(x),&x>a\end{cases}$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하지 않을 때, 어떤 함수 $\displaystyle g(x)$에 대하여 함수 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}f_1(x),&x\le a\\(g\circ f_2)(x),&x>a\end{cases}$는 $\displaystyle x=a$에서 미분가능할 수도 있다.

(다) 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$를 제외한 정의역의 나머지 모든 점에서 미분가능하다는 것을 알고 있을 때,다음을 이용하면 $\displaystyle f^{\prime}(a)$의 존재 여부뿐만 아니라 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 $\displaystyle x=a$에서의 연속성도 알 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 연속이기 위한 필요충분조건은$\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 연속이고　$\displaystyle \lim_{x\to a-0}f^{\prime}(x)=\lim_{x\to a+0}f^{\prime}(x)$이다.

(a) $\displaystyle f(0)=0$(b) $\displaystyle f$는 집합 $\displaystyle \mathbb R-\{0\}$에서 미분가능하다.(c) $\displaystyle n=3$일 때, $\displaystyle \lim_{x\to0}(s\circ f)^{\prime}(x)=1$이다.