자연계열 2번

[논제 1]$\displaystyle n=3$일 때, $\displaystyle x\ne0$이면 $\displaystyle (s\circ f)^{\prime}(x)=\frac{\{f(x)\}^2f^{\prime}(x)}{[\{f(x)\}^3+2]^{\frac23}}$이다.$\displaystyle f(x)$가 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0$이고, 조건 (c)로부터$\displaystyle \lim_{x\to0}(s\circ f)^{\prime}(x)=\lim_{x\to0}\frac{\{f(x)\}^2f^{\prime}(x)}{[\{f(x)\}^3+2]^{\frac23}}=1$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}[\{f(x)\}^2f^{\prime}(x)]=2^{\frac23}$이다.

[논제 2]$\displaystyle h^{\prime}(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이 되려면 제시문 (다)에 의하여$\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 연속이고　… (*)$\displaystyle \lim_{x\to-0}h^{\prime}(x)=\lim_{x\to+0}h^{\prime}(x)$　… (**)이 성립해야한다.

$\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle (s^{(k)}\circ f)^{\prime}(x)=\frac{\{f(x)\}^{n-1}f^{\prime}(x)}{[\{f(x)\}^n+2k]^{\frac{n-1}n}}$이므로(**)로부터$\displaystyle 0=\lim_{x\to+0}(s^{(k)}\circ f)^{\prime}(x)=\lim_{x\to+0}\frac{\{f(x)\}^{n-1}f^{\prime}(x)}{[\{f(x)\}^n+2k]^{\frac{n-1}n}}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{x\to+0}[\{f(x)\}^{n-1}f^{\prime}(x)]=\lim_{x\to+0}[\{f(x)\}^{n-3}\{f(x)\}^2f^{\prime}(x)]=0$　… (***)이어야 한다.