자연계열 2번

[논제 1]$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-1}{x+1}\left\{\ln\frac{x+1}9+\ln(x+1)\right\}=\frac{-1}{x+1}\ln\frac{(x+1)^2}9$이므로$\displaystyle f^{\prime}(2)=0$이고 $\displaystyle -1<x<2$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$, $\displaystyle x>2$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이다.따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 극댓값 $\displaystyle f(2)=(\ln3)^2$을 갖는다.한편 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle 0\le x\le2$에서는 $\displaystyle f(x)=g(x)$이다.

또한, $\displaystyle x\ge2$에서는$\displaystyle g(x)=\int_0^x|f^{\prime}(t)|\,dt=\int_0^2f^{\prime}(t)\,dt-\int_2^xf^{\prime}(t)\,dt=f(2)-f(0)-f(x)+f(2)=-f(x)+2f(2)$이므로 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 직선 $\displaystyle y=(\ln3)^2$에 대하여 대칭이다.

따라서 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$의 그래프는 구간 $\displaystyle [2,\infty)$에서 직선 $\displaystyle y=(\ln3)^2$에 대하여 대칭이다.그러므로 구하는 $\displaystyle a$의 최솟값은 $\displaystyle 2$, $\displaystyle k=(\ln3)^2$이다.

[논제 2]$\displaystyle x\ge2$에서 $\displaystyle h(x)=\int_8^x|f^{\prime}(t)|\,dt=-\int_8^xf^{\prime}(t)\,dt=-f(x)+f(8)=-f(x)$이므로구하려는 넓이를 $\displaystyle A$라 하면 구간 $\displaystyle [3,7]$에서 $\displaystyle f(x)>0$이므로$\displaystyle A=\int_3^7\{f(x)-h(x)\}\,dx=2\int_3^7f(x)\,dx$　… (*)이다.

한편 구간 $\displaystyle [3,7]$에서$\displaystyle g(x)=-f(x)+2f(2)$이고 $\displaystyle f(2)=(\ln3)^2$이므로$\displaystyle \int_3^7\{f(x)+g(x)\}\,dx=\int_3^72(\ln3)^2\,dx=8(\ln3)^2$　… (**)이 성립한다.