자연계열 1번

[논제 1]사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$는 등변사다리꼴이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{DA}}=4$이다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}$의 시점이 $\displaystyle \mathrm A$일 때 종점 $\displaystyle \mathrm D^{\prime}$은반직선 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}$위의 점 중 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}^{\prime}}=6$인 점이다. 마찬가지 방법으로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{FD}}$의 시점이 $\displaystyle \mathrm E$일 때 종점 $\displaystyle \mathrm D^{\prime\prime}$은반직선 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ED}}$위의 점 중 $\displaystyle \overline{\mathrm{ED}^{\prime\prime}}=6$인 점이다. 이제 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ED}^{\prime\prime}}$의 시점이 $\displaystyle \mathrm A$가 되도록 평행이동시켜 생각하면$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}^{\prime}}$과 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ED}^{\prime\prime}}$의 사잇각은 $\displaystyle 60^\circ$이므로$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{FD}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AD}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}^{\prime\prime}}|=\sqrt{(\overline{\mathrm{AD}^{\prime}})^2+(\overline{\mathrm{ED}^{\prime\prime}})^2+2(\overline{\mathrm{AD}^{\prime}})(\overline{\mathrm{ED}^{\prime\prime}})\cos60^\circ}=6\sqrt3$이다.

[논제 2]$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}$의 시점이 $\displaystyle \mathrm A$일 때 종점 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}$은 점 $\displaystyle \mathrm P$를 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}$만큼 평행이동시킨 점이므로 점 $\displaystyle \mathrm P$가 원 $\displaystyle O$위를움직일 때 점 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}$은 원 $\displaystyle O$를 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}$만큼 평행이동시킨 원 $\displaystyle O^{\prime}$위를 움직이게 된다. 따라서 원 $\displaystyle O^{\prime}$의 중심을$\displaystyle \mathrm O^{\prime}$이라고 하면 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$의 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}^{\prime}}-2$, 최댓값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}^{\prime}}+2$이다.선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$는 원 $\displaystyle O$의 지름이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=90^\circ$이다. 따라서 원 $\displaystyle O$의 중심을 $\displaystyle \mathrm O$, 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 중점을$\displaystyle \mathrm M$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{BC}//\mathrm{OM}$이고 $\displaystyle \mathrm{BC}//\mathrm{OO}^{\prime}$이므로 세 점 $\displaystyle \mathrm M,\mathrm O,\mathrm O^{\prime}$은 한 직선 위에 놓여 있다.한편 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{16-4}=2\sqrt3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{MO}^{\prime}}=\overline{\mathrm{MO}}+\overline{\mathrm{OO}^{\prime}}=\sqrt3+2\sqrt3=3\sqrt3$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{AO}^{\prime}}=\sqrt{(\overline{\mathrm{AM}})^2+(\overline{\mathrm{MO}^{\prime}})^2}=\sqrt{1+27}=2\sqrt7$이다.따라서 최솟값은 $\displaystyle 2\sqrt7-2$, 최댓값은 $\displaystyle 2\sqrt7+2$이다.

(별해) 벡터와 관련된 문제는 좌표를 이용하여 다소 복잡한 계산을 통하여 대수적인 방법으로 해결할 수도 있다. 예를 들어 좌표평면에서 $\displaystyle \mathrm A(-2,0)$, $\displaystyle \mathrm B(-1,\sqrt3)$, $\displaystyle \mathrm C(2,0)$이라고 하면 세 점 $\displaystyle \mathrm A$, $\displaystyle \mathrm B$, $\displaystyle \mathrm C$는 문제의 조건을 만족시킨다. 원 $\displaystyle x^2+y^2=4$위의 점 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$에 대하여$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}=(4,0)+(x+1,y-\sqrt3)=(x+5,y-\sqrt3)$이다. 이제 $\displaystyle k=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$라 하면$\displaystyle k=\sqrt{(x+5)^2+(y-\sqrt3)^2}=\sqrt{x^2+10x+25+y^2-2\sqrt3y+3}=\sqrt{10x-2\sqrt3y+32}$이다.이 때, $\displaystyle k$의 최대, 최솟값은 직선 $\displaystyle 10x-2\sqrt3y+32-k^2=0$이 원 $\displaystyle x^2+y^2=4$에 접하는 경우에 구해진다.직선의 방정식으로부터 얻어진 식 $\displaystyle (2\sqrt3y)^2=(10x+32-k^2)^2$을 원의 방정식 $\displaystyle x^2+y^2=4$에 대입하면$\displaystyle 112x^2+20(32-k^2)x+(32-k^2)^2-48=0$을 얻는다. 이제 이차방정식의 판별식으로부터$\displaystyle \begin{aligned}D/4&=100(32-k^2)^2-112\{(32-k^2)^2-48\}\\&=-12(32-k^2)^2+112\times48\\&=0\end{aligned}$이다. 이로부터 $\displaystyle k=2\sqrt7\pm2$를 얻는다.따라서 최솟값은 $\displaystyle 2\sqrt7-2$, 최댓값은 $\displaystyle 2\sqrt7+2$이다.