자연계열 2번

구의 중심 $\displaystyle \mathrm O$를 지나고 태양광선에 수직인 평면 중 구의 안쪽 영역(원판)을 $\displaystyle D$라하고 $\displaystyle D$를 태양광선이 비추는방향으로 두 평면과 만날 때까지 평행이동한 원판을 $\displaystyle D^{\prime}$이라 하자.한쪽 평면에 생긴 그림자(그림에서 아래 음영)의 $\displaystyle D^{\prime}$이 포함된 평면 위로의 정사영을 생각하면(한쪽 평면에 생긴 그림자의 넓이) $\displaystyle \times\cos60^\circ=(D^{\prime}\text{의 넓이})\times\frac12=\frac\pi2$

이다. 따라서 한쪽 평면에 생긴 그림자의 넓이는 $\displaystyle \pi$이다. 똑같은 그림자가 다른 쪽 평면 위에도 생기므로그림자의 총 넓이는 $\displaystyle 2\pi$이다.

[논제 2]제시문의 설명에 의해 $\displaystyle \mathrm A$에 가장 가까운 점 $\displaystyle \mathrm P\left(3,\frac{16}5\right)$는 원과 타원이 한 점에서 만날 때이다. 먼저 타원의 초점이$\displaystyle \mathrm B(-3,0)$, $\displaystyle \mathrm C(3,0)$이므로, 이 때의 타원방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$라 하면 $\displaystyle 3=\sqrt{a^2-b^2}$이고,$\displaystyle 2a=\overline{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}}=\sqrt{6^2+(16/5)^2}+16/5=10$이다. 따라서 $\displaystyle a=5,b=4$이고$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}=16-(\overline{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}})=6$이다.

이제, 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P\left(3,\frac{16}5\right)$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac35x+5$이다. 이 직선은 원과 접하기도 하므로, $\displaystyle \mathrm P$에서 접선과 수직으로 만나는 직선(=법선)은 $\displaystyle y=\frac53(x-3)+\frac{16}5$이고, 원의 중심 $\displaystyle \mathrm A(\alpha,\beta)$를지난다. 그러므로

$\displaystyle 6^2=(\overline{\mathrm{PA}})^2=(\alpha-3)^2+\left(\beta-\frac{16}5\right)^2=(\alpha-3)^2+\left(\frac53(\alpha-3)+\frac{16}5-\frac{16}5\right)^2=(\alpha-3)^2\frac{34}9$으로부터 $\displaystyle \alpha=3\pm\frac{9\sqrt{34}}{17}$이다. 그런데 조건에서 $\displaystyle \alpha>6$이므로 구하는 답은 $\displaystyle \alpha=3+\frac{9\sqrt{34}}{17}$이다.