자연계열 2번

(가) 평면 $\displaystyle \gamma$ 밖의 한 점 $\displaystyle \mathrm P$에서 평면 $\displaystyle \gamma$에 내린 수선의 발 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}$을 점 $\displaystyle \mathrm P$의 평면 $\displaystyle \gamma$ 위로의 정사영이라고한다. 또, 도형 $\displaystyle F$에 속하는 각 점의 평면 $\displaystyle \gamma$ 위로의 정사영 전체의 집합을 도형 $\displaystyle F$의 평면 $\displaystyle \gamma$위로의 정사영이라고 한다. 예를 들어 태양광선이 책상 위에 수직으로 비출 때 생기는 연필의그림자는 연필의 책상 위로의 정사영이다.(단, 태양광선은 평행광선으로 간주한다.)

(나) 평면에서 고정점 $\displaystyle \mathrm A$에 대하여$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}=r$ (단, $\displaystyle r$은 양의 상수)를 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm P$의 집합은 원이다. 고정된 두 점 $\displaystyle \mathrm B$, $\displaystyle \mathrm C$에 대하여$\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}}=s$ (단, $\displaystyle s$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}<s$인 상수)를 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm P$의 집합은 타원이다. 원과 타원을 이용하여, 고정된 세 점 $\displaystyle \mathrm A,\mathrm B,\mathrm C$에 대하여$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}}=\ell$ (단, $\displaystyle \ell$은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{BC}}<\ell$인 상수)를 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm P$를 생각해 보자.1. 점 $\displaystyle \mathrm P$는 어떤 $\displaystyle r\,(r\ge0)$에 대하여 $\displaystyle \mathrm A$가 중심이고 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 원($\displaystyle r=0$일 때는 한 점)과 $\displaystyle \mathrm B,\mathrm C$로부터 거리의 합이 $\displaystyle \ell-r$인 타원이 만나는 점이다. ([그림1])2. $\displaystyle \mathrm B$와 $\displaystyle \mathrm C$로부터 거리의 합이 $\displaystyle \ell$인 타원의 외부에 점 $\displaystyle \mathrm A$가 있는 경우를 살펴보자. 중심이 $\displaystyle \mathrm A$이고반지름의 길이 $\displaystyle r$이 아주 작은 원은 $\displaystyle \mathrm B$와 $\displaystyle \mathrm C$로부터 거리의 합이 $\displaystyle \ell-r$인 타원과 만나지 않는다.그렇지만 반지름의 길이 $\displaystyle r$을 점점 크게 해나서 원과 타원이 처음으로 만날 때에는 [그림2]와같이 서로 한 점에서 만난다.

(다) 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$이다.