자연계열 1번

(가) 좌표평면의 두 점 $\displaystyle \mathrm A(a^2,a)$와 $\displaystyle \mathrm B(b^2,b)$에 대하여 곡선 $\displaystyle x=y^2$ 위의점 $\displaystyle \mathrm P$에서의 접선이 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 평행할 때, 세 점 $\displaystyle \mathrm A$, $\displaystyle \mathrm P$, $\displaystyle \mathrm B$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APB}$를 $\displaystyle T(a,b)$라 하자.

(나) 삼각형 $\displaystyle T(0,1)$의 넓이를 $\displaystyle S_0$이라 하자.[단계 1] 삼각형 $\displaystyle T(0,1)$의 세 꼭짓점의 $\displaystyle y$좌표를 크기순으로 $\displaystyle y_0$, $\displaystyle y_1$, $\displaystyle y_2$(단, $\displaystyle y_0<y_1<y_2$)라 표기하자. 이 경우 $\displaystyle y_0=0$, $\displaystyle y_2=1$이다. 두 삼각형 $\displaystyle T(y_0,y_1)$, $\displaystyle T(y_1,y_2)$의 넓이의 합을 $\displaystyle S_1$이라 하자.[단계 2] [단계 1]에서 얻어지는 두 삼각형 $\displaystyle T(y_0,y_1)$, $\displaystyle T(y_1,y_2)$의 꼭짓점의 $\displaystyle y$좌표를 크기순으로새롭게 표기한 것을 $\displaystyle y_0$, $\displaystyle y_1$, $\displaystyle y_2$, $\displaystyle y_3$, $\displaystyle y_4$(단, $\displaystyle y_0<y_1<y_2<y_3<y_4$)라 하자. 이 경우 $\displaystyle y_0=0$,$\displaystyle y_4=1$이다. 네 삼각형 $\displaystyle T(y_0,y_1)$, $\displaystyle T(y_1,y_2)$, $\displaystyle T(y_2,y_3)$, $\displaystyle T(y_3,y_4)$의 넓이의 합을 $\displaystyle S_2$라 하자.[단계 $\displaystyle k$] [단계 $\displaystyle k-1$]에서 얻어지는 $\displaystyle 2^{k-1}$개의 삼각형 $\displaystyle T(y_{i-1},y_i)\,(i=1,2,\cdots,2^{k-1})$의 꼭짓점의$\displaystyle y$좌표를 크기순으로 새롭게 표기한 것을 $\displaystyle y_0$, $\displaystyle y_1$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle y_{2^k}$ (단, $\displaystyle y_0<y_1<\cdots<y_{2^k}$)이라 하자. $\displaystyle 2^k$개의 삼각형 $\displaystyle T(y_{i-1},y_i)\,(i=1,2,\cdots,2^k)$의 넓이의 합을 $\displaystyle S_k$라 하자.$\displaystyle A_k=S_0+S_1+\cdots+S_k$라 할 때, $\displaystyle A_k$는 $\displaystyle k$가 커짐에 따라 직선 $\displaystyle y=x$와 곡선 $\displaystyle x=y^2$으로 둘러싸인영역의 넓이에 가까워진다.

(다) 좌표평면에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 세 꼭짓점이 $\displaystyle \mathrm A(a_1,b_1)$, $\displaystyle \mathrm B(a_2,b_2)$, $\displaystyle \mathrm C(a_3,b_3)$일 때, 넓이 $\displaystyle S$는 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle S=\frac12|a_1(b_2-b_3)+a_2(b_3-b_1)+a_3(b_1-b_2)|$