자연계열 1번

[논제1]접점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표를 $\displaystyle \mathrm P(p^2,p)$라 하면 두 점 $\displaystyle \mathrm A(a^2,a)$과 $\displaystyle \mathrm B(b^2,b)$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac1{a+b}$이고, 점$\displaystyle \mathrm P$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac1{2p}$이다. 따라서 $\displaystyle p=\frac{a+b}2$이다.

또, 제시문 (다)에 의해 세 점 $\displaystyle \mathrm A(a^2,a)$, $\displaystyle \mathrm B(b^2,b)$, $\displaystyle \mathrm P(p^2,p)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle T(a,b)$의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}&\frac12\left|a^2\left(b-\frac{a+b}2\right)+b^2\left(\frac{a+b}2-a\right)+\frac{(a+b)^2}4(a-b)\right|\\&=\frac12|b-a|\left|\frac{a^2}2+\frac{b^2}2-\frac{(a+b)^2}4\right|\\&=\frac18|b-a|^3\end{aligned}$이다.

[논제2]$\displaystyle A=\int_0^1(\sqrt x-x)\,dx=\Biggl[\frac23x^{3/2}-\frac12x^2\Biggr]_0^1=\frac16$이다. 또, [논제 1]에 의해 두 점 $\displaystyle (0,0)$과 $\displaystyle (1,1)$을 지나는 직선과 평행한 접선의 접점은 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle \frac12$이고, 삼각형 $\displaystyle T(0,1)$의 넓이는 $\displaystyle S_0=\frac18$이다. 같은 방법으로$\displaystyle S_1=\frac18\left\{\left(\frac12\right)^3+\left(\frac12\right)^3\right\}=\frac18\times\frac14,$$\displaystyle S_2=\frac18\left\{\left(\frac14\right)^3+\left(\frac14\right)^3+\left(\frac14\right)^3+\left(\frac14\right)^3\right\}=\frac18\times\left(\frac14\right)^2$$\displaystyle \vdots$이고,$\displaystyle S_k=\frac18\left(\frac14\right)^k$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}A_k&=S_0+S_1+S_2+\cdots+S_k\\&=\frac18\left\{1+\frac14+\left(\frac14\right)^2+\cdots+\left(\frac14\right)^k\right\}\\&=\frac16\left(1-\left(\frac14\right)^{k+1}\right)\end{aligned}$

이다. 한편,$\displaystyle A-A_k=\frac16-\frac16\left\{1-\left(\frac14\right)^{k+1}\right\}=\frac16\left(\frac14\right)^{k+1}$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $\displaystyle k$의 최솟값은 $\displaystyle 4$이다.