자연계열 2번

단국대 2015학년도 수시논술(오전) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2015su_am/jayeon_2

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)

(가) 두 실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 중 작지 않은 값을 $\displaystyle \max\{a,b\}$ 라 하자. 두 함수 $\displaystyle f:A\to\mathbb R$ , $\displaystyle g:B\to\mathbb R$ 이주어졌을 때, $\displaystyle A\cap B$ 의 각 원소 $\displaystyle x$ 에 대하여 함수 $\displaystyle h(x)$ 를 $\displaystyle h(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ 라 하자. $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 모두 연속함수이면 $\displaystyle h(x)$ 도 연속함수가 되지만, 다음의 예에서 볼 수 있듯이 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 모두 미분가능한 함수이더라도 $\displaystyle h(x)$ 는 미분가능하지 않은 경우가 있을 수 있다.(단, $\displaystyle \mathbb R$ 은 실수 전체의 집합이다.)(예) $\displaystyle \mathbb R$ 에서 미분가능한 두 함수 $\displaystyle f(x)=x$ , $\displaystyle g(x)=-x$ 에 대하여 $\displaystyle h(x)=\max\{f(x),g(x)\}=|x|$ 는 $\displaystyle x=0$ 에서 미분가능하지 않다.

(나) 특별한 언급이 없는 경우 함수의 정의역은 그 함수가 정의되는 가장 큰 집합을 의미한다. 함수 $\displaystyle f:\mathbb R\to\mathbb R$ 이 일대일 대응이면 $\displaystyle f^{-1}(x)$ 의 정의역도 $\displaystyle \mathbb R$ 이므로, $\displaystyle k$ 가 $\displaystyle 0$ 이 아닌 실수일 때 함수 $\displaystyle g(x)=\max\left\{f^{-1}(x),\frac k{f(x)}\right\}$ 의 정의역은 $\displaystyle \{x\in\mathbb R\mid f(x)\ne0\}$ 이다.

(다) $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle ax^2+2ax+b=0$ 이 서로 다른 실근을 갖도록 하는두 실수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 조건을 생각해 보자. $\displaystyle a=0$ 이면 $\displaystyle b=0$ 일 때 무수히많은 실근을 가지므로 조건을 만족시킨다. $\displaystyle a\ne0$ 이면 이차방정식의판별식에 의하여 $\displaystyle a^2-ab=a(a-b)>0$ 일 때 서로 다른 실근을 가진다.이 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 관계를 $\displaystyle a$ 축과 $\displaystyle b$ 축으로 이루어진 좌표평면에 영역으로나타내면 오른쪽과 같다.(단, $\displaystyle -2\le a\le2$ , $\displaystyle -6\le b\le6$ 인 범위에서만그리기로 한다.)여기서 직선 $\displaystyle b=a$ 의 점선표기는 이 직선이 영역에 포함되지 않음을의미하며 원점에 표기한 굵은 점은 이 점이 영역에 속해 있음을의미한다. 좌표축이 영역에 포함되지 않음을 고려해야할 경우는오른쪽 예의 괄호안의 서술과 같이 기술하거나 좌표축을 점선으로그리기로 한다.

(단, 원점을 제외한 $\displaystyle b$ 축은 영역에 포함되지 않는다.)

[논제 1] 함수 $\displaystyle f(x)=x+k$ (단, $\displaystyle k$ 는 상수)에 대하여, $\displaystyle g(x)=\max\left\{f^{-1}(x),\frac{2k+1}{f(x)}\right\}$ 이라 하자. 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle g(x)$ 의 정의역 전체에서 미분가능할 때의 $\displaystyle k$ 값을 구하고, 이 때 $\displaystyle g^{\prime}(2k)+g^{\prime}(-2k)$ 의 값을 구하시오. (15점)

[논제 2] 삼차함수 $\displaystyle f(x)=ax^3+ax+b$ 에 대하여, 함수 $\displaystyle h(x)=\max\left\{f^{-1}(x),\frac b{f(x)}\right\}$ 가 $\displaystyle 0$ 을 정의역의 원소로갖는다고 하자. $\displaystyle h(0)=1$ 이고 $\displaystyle h^{\prime}(0)$ 이 존재하도록 하는 두 실수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 관계를 $\displaystyle a$ 축과 $\displaystyle b$ 축으로 이루어진 좌표평면에 영역으로 나타내시오.(단, 제시문 (다)를 참조하여 $\displaystyle -2\le a\le2$ , $\displaystyle -6\le b\le6$ 인 범위에서만 그리기로 한다.) (25점)

해설강의 준비중

단국대 2015학년도 수시논술(오전) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2015su_am/jayeon_2

[논제 1] $\displaystyle f(x)=x+k$ 이므로 $\displaystyle f^{-1}(x)=x-k$ 이다.

+7점 ·

\displaystyle k=-1

임을 제시

(ⅰ) $\displaystyle k=-\frac12$ 이면 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}x+\frac12&(x\ge-\frac12)\\0&(x<-\frac12)\end{cases}$ 은 $\displaystyle x=-\frac12$ 에서 미분가능하지 않으므로 조건을 만족시키지않는다.

(ⅱ) $\displaystyle k\ne-\frac12$ 이면 $\displaystyle g(x)=\max\left\{x-k,\frac{2k+1}{x+k}\right\}$ 의 정의역은 $\displaystyle \{x\in\mathbb R\mid x\ne-k\}$ 이다. $\displaystyle g(x)$ 가 정의역 전체에서 미분가능하려면 $\displaystyle x-k=\frac{2k+1}{x+k}$ 를 만족시키는 실수 $\displaystyle x=\pm(k+1)$ 에서 $\displaystyle 1=-\frac{2k+1}{(x+k)^2}$ 이 성립해야 한다. $\displaystyle x=k+1$ 일 때, $\displaystyle (2k+1)^2=-2k-1$ 로부터 $\displaystyle 4k^2+6k+2=0$ 이므로 $\displaystyle k=-1$ 또는 $\displaystyle k=-\frac12$ 이다. $\displaystyle k\ne-\frac12$ 이므로 $\displaystyle k=-1$ 이다.또한 $\displaystyle x=-k-1$ 일 때, $\displaystyle 1=-2k-1$ 로부터 $\displaystyle k=-1$ 이다.따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle k=-1$ 일 때만 정의역의 모든 점에서 미분가능하다.

+8점 ·

\displaystyle g^{\prime}(2k)+g^{\prime}(-2k)=\frac{10}9

임을 제시

한편, $\displaystyle k=-1$ 일 때 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}x+1&(x>1)\\\frac{-1}{x-1}&(x<1)\end{cases}$ 이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\begin{cases}1&(x>1)\\\frac1{(x-1)^2}&(x<1)\end{cases}$ 이다. 따라서 $\displaystyle g^{\prime}(2k)+g^{\prime}(-2k)=g^{\prime}(-2)+g^{\prime}(2)=\left(\frac1{(-2-1)^2}\right)+1=\frac{10}9$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle f^{-1}(0)\le1

을 제시

[논제 2] $\displaystyle f(x)$ 가 삼차함수이므로 $\displaystyle a\ne0$ 이다. 또한 $\displaystyle h(x)$ 의 정의역에 $\displaystyle 0$ 이 속해 있어야 하므로 $\displaystyle f(0)\ne0$ 으로부터 $\displaystyle b\ne0$ 이다.이제 $\displaystyle h(0)=\max\left\{f^{-1}(0),\frac b{f(0)}\right\}=\max\{f^{-1}(0),1\}=1$ 이므로 $\displaystyle f^{-1}(0)\le1$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle f^{-1}(0)=1

이면

\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(0)=b\left(\frac1f\right)^{\prime}(0)

임을 제시

또한 $\displaystyle h^{\prime}(0)$ 이 존재하려면 다음 (1) 또는 (2)가 성립해야 한다.(1) $\displaystyle f^{-1}(0)<1$ (2) $\displaystyle f^{-1}(0)=1$ 이면 $\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(0)=b\left(\frac1f\right)^{\prime}(0)$ 이다.

+10점 · 그래프를 제시 (그래프가 정확히 제시되지 않은 경우는 부분점수 부여)

(1)이 성립할 때(ⅰ) $\displaystyle a>0$ 인 경우에는 $\displaystyle f$ 가 증가함수이므로 $\displaystyle f^{-1}(0)<1$ 이려면 $\displaystyle 0<f(1)$ 이어야 한다. $\displaystyle f(1)=2a+b$ 이므로 $\displaystyle 2a+b>0$ 이다.(ⅱ) $\displaystyle a<0$ 인 경우에는 $\displaystyle f$ 가 감소함수이므로 $\displaystyle f^{-1}(0)<1$ 이려면 $\displaystyle 0>f(1)$ 이어야 한다.따라서 $\displaystyle 2a+b<0$ 이다.

(2)가 성립할 때 $\displaystyle f^{-1}(0)=1$ 로부터 $\displaystyle f(1)=0$ 이므로 $\displaystyle 2a+b=0$ 이다. … (*) $\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(0)=\frac1{f^{\prime}(1)}=\frac1{4a}$ 이고, $\displaystyle b\left(\frac1f\right)^{\prime}(0)=\frac{-bf^{\prime}(0)}{(f(0))^2}=-\frac ab$ 이므로 $\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(0)=b\left(\frac1f\right)^{\prime}(0)$ 으로부터 $\displaystyle b=-4a^2$ 이다. … (**)식 (*)을 (**)에 대입하면 $\displaystyle a=\frac12$ , $\displaystyle b=-1$ 을 얻는다.구하는 영역은 다음과 같이 그려진다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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