자연계열 2번

(ⅰ) $\displaystyle k=-\frac12$이면 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}x+\frac12&(x\ge-\frac12)\\0&(x<-\frac12)\end{cases}$은 $\displaystyle x=-\frac12$에서 미분가능하지 않으므로 조건을 만족시키지않는다.

(ⅱ) $\displaystyle k\ne-\frac12$이면 $\displaystyle g(x)=\max\left\{x-k,\frac{2k+1}{x+k}\right\}$의 정의역은 $\displaystyle \{x\in\mathbb R\mid x\ne-k\}$이다.$\displaystyle g(x)$가 정의역 전체에서 미분가능하려면 $\displaystyle x-k=\frac{2k+1}{x+k}$를 만족시키는 실수 $\displaystyle x=\pm(k+1)$에서$\displaystyle 1=-\frac{2k+1}{(x+k)^2}$이 성립해야 한다.$\displaystyle x=k+1$일 때, $\displaystyle (2k+1)^2=-2k-1$로부터 $\displaystyle 4k^2+6k+2=0$이므로 $\displaystyle k=-1$또는 $\displaystyle k=-\frac12$이다.$\displaystyle k\ne-\frac12$이므로 $\displaystyle k=-1$이다.또한 $\displaystyle x=-k-1$일 때, $\displaystyle 1=-2k-1$로부터 $\displaystyle k=-1$이다.따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle k=-1$일 때만 정의역의 모든 점에서 미분가능하다.

한편, $\displaystyle k=-1$일 때 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}x+1&(x>1)\\\frac{-1}{x-1}&(x<1)\end{cases}$이므로$\displaystyle g^{\prime}(x)=\begin{cases}1&(x>1)\\\frac1{(x-1)^2}&(x<1)\end{cases}$이다. 따라서$\displaystyle g^{\prime}(2k)+g^{\prime}(-2k)=g^{\prime}(-2)+g^{\prime}(2)=\left(\frac1{(-2-1)^2}\right)+1=\frac{10}9$이다.

[논제 2]$\displaystyle f(x)$가 삼차함수이므로 $\displaystyle a\ne0$이다. 또한 $\displaystyle h(x)$의 정의역에 $\displaystyle 0$이 속해 있어야 하므로 $\displaystyle f(0)\ne0$으로부터$\displaystyle b\ne0$이다.이제 $\displaystyle h(0)=\max\left\{f^{-1}(0),\frac b{f(0)}\right\}=\max\{f^{-1}(0),1\}=1$이므로 $\displaystyle f^{-1}(0)\le1$이다.

또한 $\displaystyle h^{\prime}(0)$이 존재하려면 다음 (1) 또는 (2)가 성립해야 한다.(1) $\displaystyle f^{-1}(0)<1$(2) $\displaystyle f^{-1}(0)=1$이면 $\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(0)=b\left(\frac1f\right)^{\prime}(0)$이다.

(1)이 성립할 때(ⅰ) $\displaystyle a>0$인 경우에는 $\displaystyle f$가 증가함수이므로 $\displaystyle f^{-1}(0)<1$이려면 $\displaystyle 0<f(1)$이어야 한다.$\displaystyle f(1)=2a+b$이므로 $\displaystyle 2a+b>0$이다.(ⅱ) $\displaystyle a<0$인 경우에는 $\displaystyle f$가 감소함수이므로 $\displaystyle f^{-1}(0)<1$이려면 $\displaystyle 0>f(1)$이어야 한다.따라서 $\displaystyle 2a+b<0$이다.

(2)가 성립할 때$\displaystyle f^{-1}(0)=1$로부터 $\displaystyle f(1)=0$이므로 $\displaystyle 2a+b=0$이다. … (*)$\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(0)=\frac1{f^{\prime}(1)}=\frac1{4a}$이고, $\displaystyle b\left(\frac1f\right)^{\prime}(0)=\frac{-bf^{\prime}(0)}{(f(0))^2}=-\frac ab$이므로$\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(0)=b\left(\frac1f\right)^{\prime}(0)$으로부터 $\displaystyle b=-4a^2$이다. … (**)식 (*)을 (**)에 대입하면 $\displaystyle a=\frac12$, $\displaystyle b=-1$을 얻는다.구하는 영역은 다음과 같이 그려진다.