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자연계열 1번

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단국대 2017학년도 수시논술(오전) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2017su_am/jayeon_1

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문제

[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)

(가) 우리 주변에는 해수면의 높이, 기차가 움직인 거리 등 시간에 따라 관찰 대상의 위치가 변하는 현상이 많다. 시각 t\displaystyle t일 때의 위치를 나타내는 함수를 x(t)\displaystyle x(t)라 할 때, x(t)\displaystyle x(t)를 t\displaystyle t에 대하여 미분하면 위치의 순간변화율을 구할 수 있다.

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고, 자연수 n\displaystyle n에 대하여 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]를 n\displaystyle n등분한 각 분점(양끝점도 포함)의 x\displaystyle x좌표를 차례로 a=x0,x1,⋯ ,xn−1,xn=b\displaystyle a=x_0,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n=b라 하자.이때, 극한값 lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)b−an\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{b-a}n를 f(x)\displaystyle f(x)의 a\displaystyle a에서 b\displaystyle b까지의 정적분이라 하고, 이를 기호로∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx와 같이 나타낸다.

(다) (1) [적분과 미분의 관계] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때ddx∫axf(t) dt=f(x)\displaystyle \frac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x) (단, a<x<b\displaystyle a<x<b)(2) [부분적분법] 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 미분가능할 때∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx

[논제 1] 오른쪽 그림과 같이 수면의 높이가 x cm\displaystyle x\,\mathrm{cm}일 때, 물의 부피가x2+x cm3\displaystyle \sqrt{x^2+x}\,\mathrm{cm}^3이 되는 그릇이 있다. 비어있는 이 그릇에 물을 매초7 cm3\displaystyle 7\,\mathrm{cm}^3씩 넣을 때, 수면의 높이가 3 cm\displaystyle 3\,\mathrm{cm}가 되는 순간 수면의 높이의변화율을 구하시오. (10점)

수면 높이 x와 물의 부피 √(x²+x)

[논제 2] 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 다음을 만족시킬 때, f(1)\displaystyle f(1)의 값을 구하시오. (10점)∫0xetf(t) dt+∫1x+1tet−1 dt=exf(x)+x2−12\displaystyle \int_0^xe^tf(t)\,dt+\int_1^{x+1}te^{t-1}\,dt=e^xf(x)+x^2-\frac12

[논제 3] 구간 [1,2]\displaystyle [1,2]를 n\displaystyle n등분한 각 분점(양 끝점도 포함)의 x\displaystyle x좌표를 차례로1=x0,x1,⋯ ,xn−1,xn=2\displaystyle 1=x_0,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n=2라 하고, k\displaystyle k (k=1,2,⋯ ,n\displaystyle k=1,2,\cdots,n)에 대하여 점 (xk,0)\displaystyle (x_k,0)을 Pk\displaystyle \mathrm{P}_k, 점 (xk,ln⁡xk)\displaystyle (x_k,\ln x_k)를 Qk\displaystyle \mathrm{Q}_k, y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x 위의점 Qk\displaystyle \mathrm{Q}_k에서의 접선이 x\displaystyle x축과 만나는 점을 Rk\displaystyle \mathrm{R}_k라 하자.삼각형 PkQkRk\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k\mathrm{R}_k의 넓이를 Sk\displaystyle S_k라 할 때, lim⁡n→∞∑k=1nSkn+k\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{S_k}{n+k}의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

단국대 2017학년도 수시논술(오전) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2017su_am/jayeon_1

+5점 · dVdt=ddx(x2+x)dxdt\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac d{dx}\left(\sqrt{x^2+x}\right)\frac{dx}{dt}를 제시

[논제 1] V=x2+x\displaystyle V=\sqrt{x^2+x}의 양변을 t\displaystyle t에 대해 미분하면dVdt=ddt(x2+x)=ddx(x2+x)dxdt=(2x+12x2+x)dxdt\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac d{dt}\left(\sqrt{x^2+x}\right)=\frac d{dx}\left(\sqrt{x^2+x}\right)\frac{dx}{dt}=\left(\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}\right)\frac{dx}{dt}

+5점 · dxdt=43\displaystyle \frac{dx}{dt}=4\sqrt3을 제시

이다. 물을 매초 7 cm3\displaystyle 7\,\mathrm{cm}^3씩 넣으므로 dVdt=7\displaystyle \frac{dV}{dt}=7이고, x=3\displaystyle x=3일 때, dxdt=43\displaystyle \frac{dx}{dt}=4\sqrt3이다.따라서 구하는 수면의 높이의 변화율은 43 cm/\displaystyle 4\sqrt3\,\mathrm{cm}/초이다.

+5점 · f′(x)=x+1−2xe−x\displaystyle f^{\prime}(x)=x+1-2xe^{-x}를 제시

[논제 2] 주어진 식의 양변을 x\displaystyle x에 대해 미분하면,exf(x)+(x+1)ex=exf(x)+exf′(x)+2x\displaystyle e^xf(x)+(x+1)e^x=e^xf(x)+e^xf^{\prime}(x)+2x이므로f′(x)=x+1−2xe−x\displaystyle f^{\prime}(x)=x+1-2xe^{-x}

+5점 · f(1)=4e\displaystyle f(1)=\frac4e를 제시

이다. 양변을 x\displaystyle x에 대해 적분하면,f(x)=12x2+x−2∫xe−x dx\displaystyle f(x)=\frac12x^2+x-2\int xe^{-x}\,dx이고, 부분적분법에 의해f(x)=12x2+x+2xe−x+2e−x+C\displaystyle f(x)=\frac12x^2+x+2xe^{-x}+2e^{-x}+C이다. 한편, f(0)=12\displaystyle f(0)=\frac12에서 C=−32\displaystyle C=-\frac32이므로 f(x)=12x2+x+2xe−x+2e−x−32\displaystyle f(x)=\frac12x^2+x+2xe^{-x}+2e^{-x}-\frac32이고, f(1)=4e\displaystyle f(1)=\frac4e이다.

+3점 · 접선의 방정식 y=1xkx+ln⁡xk−1\displaystyle y=\frac1{x_k}x+\ln x_k-1을 제시

[논제 3] 점 Qk\displaystyle \mathrm{Q}_k에서 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x에 접하는 접선의 방정식은y=1xkx+ln⁡xk−1\displaystyle y=\frac1{x_k}x+\ln x_k-1

로그 곡선의 접선과 삼각형 PₖQₖRₖ
+2점 · Sk=12xk(ln⁡xk)2\displaystyle S_k=\frac12x_k(\ln x_k)^2을 제시

이다. Rk\displaystyle \mathrm{R}_k의 좌표는 (xk−xkln⁡xk,0)\displaystyle (x_k-x_k\ln x_k,0)이므로 Sk\displaystyle S_k는 다음과 같다.Sk=12xk(ln⁡xk)2=12(1+kn)(ln⁡(1+kn))2=12(n+kn)(ln⁡(1+kn))2\displaystyle \begin{aligned}S_k&=\frac12x_k(\ln x_k)^2=\frac12\left(1+\frac kn\right)\left(\ln\left(1+\frac kn\right)\right)^2\\&=\frac12\left(\frac{n+k}n\right)\left(\ln\left(1+\frac kn\right)\right)^2\end{aligned}

+5점 · lim⁡n→∞∑k=1nSkn+k=12∫12(ln⁡x)2 dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{S_k}{n+k}=\frac12\int_1^2(\ln x)^2\,dx를 제시

따라서 정적분의 정의에 의해lim⁡n→∞∑k=1nSkn+k=lim⁡n→∞∑k=1n12(ln⁡(1+kn))21n=12∫12(ln⁡x)2 dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{S_k}{n+k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac12\left(\ln\left(1+\frac kn\right)\right)^2\frac1n=\frac12\int_1^2(\ln x)^2\,dx

+10점 · lim⁡n→∞∑k=1nSkn+k=(ln⁡2)2−2ln⁡2+1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{S_k}{n+k}=(\ln2)^2-2\ln2+1을 제시

이다. 부분적분법에 의해12∫12(ln⁡x)2 dx=12[x(ln⁡x)2]12−∫12ln⁡x dx=(ln⁡2)2−[xln⁡x−x]12=(ln⁡2)2−2ln⁡2+1\displaystyle \begin{aligned}\frac12\int_1^2(\ln x)^2\,dx&=\frac12\Biggl[x(\ln x)^2\Biggr]_1^2-\int_1^2\ln x\,dx\\&=(\ln2)^2-\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^2\\&=(\ln2)^2-2\ln2+1\end{aligned}이므로 lim⁡n→∞∑k=1nSkn+k=(ln⁡2)2−2ln⁡2+1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{S_k}{n+k}=(\ln2)^2-2\ln2+1이다.

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