자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle V=\sqrt{x^2+x}$의 양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac d{dt}\left(\sqrt{x^2+x}\right)=\frac d{dx}\left(\sqrt{x^2+x}\right)\frac{dx}{dt}=\left(\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}\right)\frac{dx}{dt}$

이다. 물을 매초 $\displaystyle 7\,\mathrm{cm}^3$씩 넣으므로 $\displaystyle \frac{dV}{dt}=7$이고, $\displaystyle x=3$일 때, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=4\sqrt3$이다.따라서 구하는 수면의 높이의 변화율은 $\displaystyle 4\sqrt3\,\mathrm{cm}/$초이다.

[논제 2] 주어진 식의 양변을 $\displaystyle x$에 대해 미분하면,$\displaystyle e^xf(x)+(x+1)e^x=e^xf(x)+e^xf^{\prime}(x)+2x$이므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=x+1-2xe^{-x}$

이다. 양변을 $\displaystyle x$에 대해 적분하면,$\displaystyle f(x)=\frac12x^2+x-2\int xe^{-x}\,dx$이고, 부분적분법에 의해$\displaystyle f(x)=\frac12x^2+x+2xe^{-x}+2e^{-x}+C$이다. 한편, $\displaystyle f(0)=\frac12$에서 $\displaystyle C=-\frac32$이므로 $\displaystyle f(x)=\frac12x^2+x+2xe^{-x}+2e^{-x}-\frac32$이고, $\displaystyle f(1)=\frac4e$이다.

[논제 3] 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_k$에서 곡선 $\displaystyle y=\ln x$에 접하는 접선의 방정식은$\displaystyle y=\frac1{x_k}x+\ln x_k-1$

이다. $\displaystyle \mathrm{R}_k$의 좌표는 $\displaystyle (x_k-x_k\ln x_k,0)$이므로 $\displaystyle S_k$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S_k&=\frac12x_k(\ln x_k)^2=\frac12\left(1+\frac kn\right)\left(\ln\left(1+\frac kn\right)\right)^2\\&=\frac12\left(\frac{n+k}n\right)\left(\ln\left(1+\frac kn\right)\right)^2\end{aligned}$

따라서 정적분의 정의에 의해$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{S_k}{n+k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac12\left(\ln\left(1+\frac kn\right)\right)^2\frac1n=\frac12\int_1^2(\ln x)^2\,dx$

이다. 부분적분법에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\frac12\int_1^2(\ln x)^2\,dx&=\frac12\Biggl[x(\ln x)^2\Biggr]_1^2-\int_1^2\ln x\,dx\\&=(\ln2)^2-\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^2\\&=(\ln2)^2-2\ln2+1\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{S_k}{n+k}=(\ln2)^2-2\ln2+1$이다.