자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle S_1$과 $\displaystyle S_2$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle S_1:(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=4$ … ①$\displaystyle S_2:x^2+(y-1)^2+z^2=\frac52$ … ②①-②로부터 원 $\displaystyle C$를 포함하는 평면의 방정식은$\displaystyle x-y+z+\frac14=0$

이고, 원 $\displaystyle C$의 중심은 이 평면과 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선의 교점이다. $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,-1,1)$이므로

두 방정식을 연립하면 $\displaystyle t=\frac14$일 때, 원 $\displaystyle C$의 중심의 좌표 $\displaystyle \left(\frac14,\frac34,\frac14\right)$을 얻는다.

[논제 2] 원 $\displaystyle C$ 위의 모든 점과 거리가 일정한 점 $\displaystyle (x,y,z)$는 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선 $\displaystyle l$ 위에 있다. 따라서 직선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,-1,1)$

이고, 원점과 직선 $\displaystyle l$ 위의 점 $\displaystyle (x,y,z)$사이의 거리는$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{3t^2-2t+1}$이다. 그러므로 $\displaystyle t=\frac13$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac13,\frac23,\frac13\right)$을 얻는다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac{2\sqrt3}3<2$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=\frac{\sqrt3}3<\frac{\sqrt{10}}2$이므로, $\displaystyle \mathrm{P}$는 $\displaystyle S_1$과 $\displaystyle S_2$의 내부에 있는 점이다. $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \alpha$ 사이의 거리를 $\displaystyle a$, $\displaystyle \mathrm{B}$와 $\displaystyle \alpha$ 사이의 거리를 $\displaystyle b$라고 하면,$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{BP}}=a:b$

이므로 $\displaystyle a=2b$이다. 한편, $\displaystyle A_1=\pi(4-a^2)$이고 $\displaystyle A_2=\pi\left(\frac52-b^2\right)$이므로,

$\displaystyle 3A_1=4A_2$로부터 $\displaystyle a=1$이다.