자연계열 2번

[논제 1] 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-1,-\frac12,0,\frac12$에서 불연속이고, 함수 $\displaystyle f(x)$는 연속함수이므로 제시문(가)에서 제시한 성질에 의해서 함수 $\displaystyle h(x)=f(x)g(x)$는 $\displaystyle x=-1,-\frac12,0,\frac12$가 아닌 점에서 연속이다. 따라서 함수 $\displaystyle h(x)$의 연속성은 $\displaystyle x=-1,-\frac12,0,\frac12$에서만 확인하면 된다. 한편,

$\displaystyle \lim_{x\to-1}h(x)=0=h(-1),\quad\lim_{x\to0}h(x)=0=h(0)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=-1,0$에서 연속이다. 또한,

$\displaystyle \lim_{x\to-\frac12^-}h(x)=1,\quad\lim_{x\to-\frac12^+}h(x)=2$이고$\displaystyle \lim_{x\to\frac12^-}h(x)=-1,\quad\lim_{x\to\frac12^+}h(x)=0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=-\frac12,\frac12$에서 불연속이다.

[논제 2] 부분적분법에 의하여$\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\Biggl[xf(x)\Biggr]_0^1-\int_0^1xf^{\prime}(x)\,dx=f(1)-\int_0^1\frac{x}{1+e^{x^2}}\,dx$

이고, 치환적분법에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1\frac{x}{1+e^{x^2}}\,dx&=\frac12\int_0^1\frac1{1+e^t}\,dt\quad(x^2=t\text{로 치환})\\&=\frac12\int_1^e\frac1{s(s+1)}\,ds\quad(e^t=s\text{로 치환})\\&=\frac12\int_1^e\left\{\frac1s-\frac1{s+1}\right\}\,ds\\&=\frac12\Biggl[\ln\frac s{s+1}\Biggr]_1^e=\ln\sqrt{\frac{2e}{e+1}}\end{aligned}$

이다. 따라서$\displaystyle 0=\int_0^1f(x)\,dx=f(1)-\ln\sqrt{\frac{2e}{e+1}}$로부터$\displaystyle f(1)=\ln\sqrt{\frac{2e}{e+1}}$이다.

[논제 3] 구간 $\displaystyle [-1,2]$에서 함수 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^3-x^2}$의 그래프를 파악하기 위해서 함수 $\displaystyle f(x)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac13\frac{3x^2-2x}{(x^3-x^2)^{2/3}}=\frac{x(3x-2)}{3(x-1)^{2/3}x^{4/3}}$

이다. 따라서 $\displaystyle x=\frac23$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이고 $\displaystyle x=0,1$에서 미분가능하지 않다. 그러므로 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의부호를 통해 극대, 극소를 판정하면 아래와 같다.

이를 이용하여 $\displaystyle f(x)$의 그래프를 그리면 아래와 같다.

그러므로$\displaystyle M(t)=\begin{cases}f(t)&-1\le t<0\\0&0\le t<1\\f(t)&1\le t\le2\end{cases}$이고 $\displaystyle m(t)=\begin{cases}f(t)&-1\le t<-\frac13\\-\frac{\sqrt[3]4}3&-\frac13\le t<\frac23\\f(t)&\frac23\le t\le2\end{cases}$이다. 따라서$\displaystyle M(t)-m(t)=\begin{cases}0&-1\le t<-\frac13\\f(t)+\frac{\sqrt[3]4}3&-\frac13\le t<0\\\frac{\sqrt[3]4}3&0\le t<\frac23\\-f(t)&\frac23\le t<1\\0&1\le t\le2\end{cases}$

이고 함수 $\displaystyle y=M(x)-m(x)$의 그래프는 아래와 같다.

정적분 $\displaystyle \int_{a-\frac13}^{a+\frac13}(M(t)-m(t))\,dt$는 곡선 $\displaystyle y=M(x)-m(x)$와 두 직선 $\displaystyle x=a-\frac13$, $\displaystyle x=a+\frac13$ 및 $\displaystyle x$축으로둘러싸인 영역의 넓이이므로, $\displaystyle \int_{a-\frac13}^{a+\frac13}(M(t)-m(t))\,dt$의 값이 최대가 되도록 하는 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle \frac13$이다.