자연계열 2번

단국대 2017학년도 수시논술(오전) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2017su_am/jayeon_2

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (60점)

(가) 그림과 같이 구 $\displaystyle S$ 가 삼각기둥 $\displaystyle \mathrm{ABCDEF}$ 의 각 면과 점 $\displaystyle \mathrm{J}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{K}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{L}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{M}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{N}$ 에서접하고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 는 한 변의 길이가 $\displaystyle 6$ 인 정삼각형이다.

(나) 삼각기둥 $\displaystyle \mathrm{ABCDEF}$ 의 $\displaystyle 9$ 개의 모서리 중에서 순서를 생각하지 않고 중복되지 않도록 $\displaystyle 2$ 개 이상의모서리를 선택하는 시행이 있다. 이 시행에서 다음과 같은 경우 사건 $\displaystyle T$ 가 일어났다고 하자.선택된 각각의 모서리에서 한 쪽 끝점을 시점으로 하고 다른 쪽 끝점을 종점으로 하는 $\displaystyle 2$ 개의 벡터를 구한다. 선택된 모든 모서리에서 이와 같이 얻은 벡터 $\displaystyle 2$ 개 중 $\displaystyle 1$ 개씩 택하여이를 모두 더했을 때 $\displaystyle \vec0$ 가 되도록 벡터를 택할 수 있다.

예를 들어 이 시행에서 두 모서리 $\displaystyle \mathrm{AB}$ , $\displaystyle \mathrm{DE}$ 가 선택되었다면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\vec0$ 이므로 사건 $\displaystyle T$ 가 일어난 것이다. 또한,세 모서리 $\displaystyle \mathrm{AB}$ , $\displaystyle \mathrm{BC}$ , $\displaystyle \mathrm{CF}$ 가 선택되었다면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BA}}$ 중 하나, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 중 하나, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CF}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FC}}$ 중 하나를 택하여 얻은 $\displaystyle 3$ 개의 벡터를모두 더했을 때 $\displaystyle \vec0$ 가 되도록 벡터를 택할 수 없으므로 사건 $\displaystyle T$ 가 일어나지 않은 것이다.참고로 사건 $\displaystyle T$ 가 일어나는 경우 중에서 두 개의 모서리가 선택되는경우의 수는 $\displaystyle 6$ , 세 개의 모서리가 선택되는 경우의 수는 $\displaystyle 8$ 이다.

[논제 1] 제시문 (가)에서 점 $\displaystyle \mathrm{X}$ 가 $\displaystyle S$ 위를 움직일 때, $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{LX}}+\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{NX}}\right|$ 의 최댓값을 구하시오.(15점)

[논제 2] 제시문 (가)의 세 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle \mathrm{C}$ 의 좌표가 각각 $\displaystyle (0,2\sqrt3,0)$ , $\displaystyle (-3,-\sqrt3,0)$ , $\displaystyle (3,-\sqrt3,0)$ 이고, $\displaystyle S$ 의 중심의 $\displaystyle z$ 좌표는 음수라 하자. $\displaystyle S$ 의 중심을 지나며 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 한 변, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DEF}$ 의한 변과 모두 만나는 직선의 개수는 $\displaystyle k$ 이고, 이 중 하나의 직선의 방정식은 양수 $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle x=\frac ym=\frac{z-z_1}n$ 이다. 이때, $\displaystyle k$ , $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ , $\displaystyle z_1$ 의 값을 구하시오. (20점)

[논제 3] 제시문 (나)의 사건 $\displaystyle T$ 가 일어날 확률을 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

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+5점 ·

\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{JK}}|=2\sqrt3

임을 제시

[논제 1] 구의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}$ 라 하자. $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OL}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|=|\overrightarrow{\mathrm{ON}}|=\sqrt3$ 이므로 구의 반지름은 $\displaystyle \sqrt3$ 이고 삼각기둥의 높이는 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{JK}}|=2\sqrt3$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \mathrm{X}=\mathrm{K}

일 때 최댓값을 갖는다는 사실을 제시

+5점 ·

\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{LX}}+\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{NX}}\right|

의 최댓값이

\displaystyle 5\sqrt3

임을 제시

한편, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{LX}}+\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{NX}}=\overrightarrow{\mathrm{JK}}+3\overrightarrow{\mathrm{OX}}-(\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{ON}})$ 이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\vec0$ 이므로 $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{LX}}+\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{NX}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{JK}}+3\overrightarrow{\mathrm{OX}}\right|$ 이다. 따라서 $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{LX}}+\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{NX}}\right|$ 는 $\displaystyle \mathrm{X}=\mathrm{K}$ 일 때 최댓값 $\displaystyle 5\sqrt3$ 을 갖는다.

+5점 · 선분

\displaystyle \mathrm{AB}

를

\displaystyle 1:2

로 내분하는 점과 선분

\displaystyle \mathrm{EF}

를

\displaystyle 2:1

로 내분하는 점을 지나는 직선임을 제시 (예시 답안에 나와 있는 6개의 직선 중 하나의 설명만 제시해도 점수를 부여함.)

[논제 2] 구하려는 직선이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 한 변을 지나는 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 하고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DEF}$ 의 한 변을 지나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하면 $\displaystyle \mathrm{P}$ 와 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 는 $\displaystyle S$ 의 중심에 대한 점대칭이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 를 $\displaystyle xy$ 평면에 정사영시킨 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$ 이라 하면 $\displaystyle \mathrm{P}$ 와 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$ 은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 무게중심에 대한 점대칭이고, 이를 만족시키는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 와 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$ 은 다음과 같이 세 쌍이다.선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점

+5점 ·

\displaystyle k=6

임을 제시

그러므로 구하려는 직선은 다음과 같이 6개이다.선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{DE}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{FD}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{DE}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{FD}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 를 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점을 지나는 직선

+5점 ·

\displaystyle m=\sqrt3,n=\sqrt3

임을 제시

이들은 모두 구의 중심 $\displaystyle (0,0,-\sqrt3)$ 을 지나고 각각 점 $\displaystyle (-1,\sqrt3,0),(1,-\sqrt3,0),(-2,0,0),(2,0,0),(-1,-\sqrt3,0),(1,\sqrt3,0)$ 을 지나는 직선이므로 그 방정식은 각각 다음과 같다. $\displaystyle -x=\frac y{\sqrt3}=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},\quad x=-\frac y{\sqrt3}=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},\quad-\frac x2=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},y=0,$ $\displaystyle \frac x2=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},y=0,\quad-x=-\frac y{\sqrt3}=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},\quad x=\frac y{\sqrt3}=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3}$ 따라서 $\displaystyle k=6$ , $\displaystyle m=\sqrt3$ , $\displaystyle n=\sqrt3$ ,

+5점 ·

\displaystyle z_1=-\sqrt3

임을 제시

$\displaystyle z_1=-\sqrt3$ 이다.

+5점 · 전체 경우의 수가

\displaystyle 502

임을 제시

[논제 3] 전체 경우의 수는 다음과 같다. $\displaystyle {}_9C_2+{}_9C_3+{}_9C_4+{}_9C_5+{}_9C_6+{}_9C_7+{}_9C_8+{}_9C_9=2^9-10=502$

사건 $\displaystyle T$ 가 일어나는 경우의 수는 다음과 같다.

- $\displaystyle 2$ 개를 선택하는 경우: (두 밑면의 변 중 평행인 $\displaystyle 2$ 개를 선택하는 경우)+ (세 옆면의 변 중 세로로 평행인 $\displaystyle 2$ 개를 선택하는 경우) $\displaystyle =3+3=6$ (가지)

- $\displaystyle 3$ 개를 선택하는 경우: (두 밑면의 변 중 평행하지 않은 $\displaystyle 3$ 개를 선택하는 경우)= (한 밑면의 세 변을 선택하는 경우)+ (밑면 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 변 $\displaystyle 1$ 개, 밑면 $\displaystyle \mathrm{DEF}$ 에서 변 $\displaystyle 2$ 개를 선택하는 경우)+ (밑면 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 변 $\displaystyle 2$ 개, 밑면 $\displaystyle \mathrm{DEF}$ 에서 변 $\displaystyle 1$ 개를 선택하는 경우) $\displaystyle =2+3+3=8$ (가지)

+15점 · 선택된 모서리가 4개일 때부터 9개일 때까지의 경우의 수를 제시 : 아래와 같은 방법으로 최대 15점까지 부여 1 ∼ 2가지를 제시 : 5점 3 ∼ 4가지를 제시 : 10점 5 ∼ 6가지를 제시 : 15점

- $\displaystyle 4$ 개를 선택하는 경우: (두 밑면에서 평행한 두 쌍의 변을 선택하는 경우)+ (세 옆면에서 세로로 평행한 한 쌍의 변을 선택하는 경우)× (두 밑면에서 평행한 한 쌍의 변을 선택하는 경우) $\displaystyle =3+3\times3=12$ (가지)

- $\displaystyle 5$ 개를 선택하는 경우: (두 밑면의 변 중 평행하지 않은 $\displaystyle 3$ 개를 선택하는 경우)× (세 옆면에서 세로로 평행한 두 쌍의 변을 선택하는 경우)Correction. 두 쌍은 한 쌍의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle =8\times3=24$ (가지)

- $\displaystyle 6$ 개를 선택하는 경우: (두 밑면의 여섯 변을 모두 선택하는 경우)+ (두 밑면에서 평행한 두 쌍의 변을 선택하는 경우)× (세 옆면에서 세로로 평행한 한 쌍의 변을 선택하는 경우) $\displaystyle =1+3\times3=10$ (가지)

- $\displaystyle 7$ 개를 선택하는 경우: $\displaystyle 0$ (가지)

- $\displaystyle 8$ 개를 선택하는 경우: (세로로 평행한 $\displaystyle 1$ 개의 변을 제외하고 나머지를 모두 선택하는 경우) $\displaystyle =3$ (가지)

- $\displaystyle 9$ 개를 선택하는 경우: $\displaystyle 0$ (가지)

+5점 · 확률이

\displaystyle \frac{63}{502}

임을 제시

따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{63}{502}$ 이다.

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