자연계열 2번

[논제 1] 구의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}$라 하자.$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OL}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|=|\overrightarrow{\mathrm{ON}}|=\sqrt3$이므로 구의 반지름은 $\displaystyle \sqrt3$이고 삼각기둥의 높이는 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{JK}}|=2\sqrt3$이다.

한편,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{LX}}+\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{NX}}=\overrightarrow{\mathrm{JK}}+3\overrightarrow{\mathrm{OX}}-(\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{ON}})$이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\vec0$이므로$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{LX}}+\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{NX}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{JK}}+3\overrightarrow{\mathrm{OX}}\right|$이다. 따라서 $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{LX}}+\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{NX}}\right|$는 $\displaystyle \mathrm{X}=\mathrm{K}$일 때 최댓값 $\displaystyle 5\sqrt3$을 갖는다.

[논제 2] 구하려는 직선이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 한 변을 지나는 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$라 하고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DEF}$의 한 변을 지나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 $\displaystyle S$의 중심에 대한 점대칭이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{Q}$를 $\displaystyle xy$평면에 정사영시킨 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 무게중심에 대한 점대칭이고, 이를 만족시키는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$은 다음과 같이 세 쌍이다.선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점

그러므로 구하려는 직선은 다음과 같이 6개이다.선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{EF}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{DE}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{FD}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{DE}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{FD}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점을 지나는 직선선분 $\displaystyle \mathrm{EF}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점과 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점을 지나는 직선

이들은 모두 구의 중심 $\displaystyle (0,0,-\sqrt3)$을 지나고 각각 점$\displaystyle (-1,\sqrt3,0),(1,-\sqrt3,0),(-2,0,0),(2,0,0),(-1,-\sqrt3,0),(1,\sqrt3,0)$을 지나는 직선이므로 그 방정식은 각각 다음과 같다.$\displaystyle -x=\frac y{\sqrt3}=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},\quad x=-\frac y{\sqrt3}=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},\quad-\frac x2=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},y=0,$$\displaystyle \frac x2=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},y=0,\quad-x=-\frac y{\sqrt3}=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3},\quad x=\frac y{\sqrt3}=\frac{z+\sqrt3}{\sqrt3}$따라서 $\displaystyle k=6$, $\displaystyle m=\sqrt3$, $\displaystyle n=\sqrt3$, $\displaystyle z_1=-\sqrt3$이다.

[논제 3] 전체 경우의 수는 다음과 같다.$\displaystyle {}_9C_2+{}_9C_3+{}_9C_4+{}_9C_5+{}_9C_6+{}_9C_7+{}_9C_8+{}_9C_9=2^9-10=502$

- $\displaystyle 4$개를 선택하는 경우: (두 밑면에서 평행한 두 쌍의 변을 선택하는 경우)+ (세 옆면에서 세로로 평행한 한 쌍의 변을 선택하는 경우)× (두 밑면에서 평행한 한 쌍의 변을 선택하는 경우)$\displaystyle =3+3\times3=12$(가지)

- $\displaystyle 5$개를 선택하는 경우: (두 밑면의 변 중 평행하지 않은 $\displaystyle 3$개를 선택하는 경우)× (세 옆면에서 세로로 평행한 두 쌍의 변을 선택하는 경우)Correction. 두 쌍은 한 쌍의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle =8\times3=24$(가지)

- $\displaystyle 6$개를 선택하는 경우: (두 밑면의 여섯 변을 모두 선택하는 경우)+ (두 밑면에서 평행한 두 쌍의 변을 선택하는 경우)× (세 옆면에서 세로로 평행한 한 쌍의 변을 선택하는 경우)$\displaystyle =1+3\times3=10$(가지)

- $\displaystyle 7$개를 선택하는 경우: $\displaystyle 0$(가지)

- $\displaystyle 8$개를 선택하는 경우: (세로로 평행한 $\displaystyle 1$개의 변을 제외하고 나머지를 모두 선택하는 경우)$\displaystyle =3$(가지)

- $\displaystyle 9$개를 선택하는 경우: $\displaystyle 0$(가지)

따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{63}{502}$이다.