자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle \cos\left(x+\frac\pi2\right)=-\sin x$이므로 $\displaystyle 0$이 아닌 실수 $\displaystyle x\in(-1,\infty)$에 대하여,$\displaystyle f(x)=\frac{-ax\cos\left(x+\frac\pi2\right)+b}{x\ln(x+1)}=\frac{ax\sin x+b}{x\ln(x+1)}$이다. $\displaystyle x\to0$일 때, (분모)→$\displaystyle 0$이므로 (분자)→$\displaystyle 0$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle b=0$이다.

또한 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이려면$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{ax\sin x}{x\ln(x+1)}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{a\sin x}x}{\frac{\ln(x+1)}x}=a=f(0)=-1$이므로

구하는 값은 $\displaystyle a=-1,b=0$이다.

[논제 2] $\displaystyle f(x)=\sin x$라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\cos x$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}(\pi,0)$에서 접선의 방정식은$\displaystyle g(x)=f^{\prime}(\pi)(x-\pi)=-x+\pi$

이다. 곡선 $\displaystyle f(x)=\sin x$와 접선 $\displaystyle g(x)=-x+\pi$의 교점은 $\displaystyle \mathrm{P}(\pi,0)$뿐이므로 $\displaystyle A(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle A(x)=|f(x)-g(x)|=\begin{cases}-x+\pi-\sin x,&(x<\pi)\\\sin x+x-\pi,&(x\ge\pi)\end{cases}$

구간 $\displaystyle (-\infty,\pi)$와 $\displaystyle (\pi,\infty)$에서 $\displaystyle A(x)$는 미분가능하므로 $\displaystyle x=\pi$에서 미분가능성을 조사하면 된다.$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{A(\pi+h)-A(\pi)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{-h-\sin(\pi+h)}h=\lim_{h\to0^-}\left(-1+\frac{\sin h}h\right)=0,$$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{A(\pi+h)-A(\pi)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{\sin(\pi+h)+h}h=\lim_{h\to0^+}\left(-\frac{\sin h}h+1\right)=0$이므로 $\displaystyle A(x)$는 $\displaystyle x=\pi$에서 미분가능하다. 따라서 함수 $\displaystyle A(x)$는 모든 실수에서 미분가능하다.

[논제 3] 조건 (i)로부터$\displaystyle \begin{aligned}\frac32\pi&=\int_0^{\pi/4}h(x)\,dx+\int_{3\pi/4}^{\pi}h(x)\,dx\\&=\Biggl[-\frac a{3b}\cos(bx)\Biggr]_0^{\pi/4}+\frac34\pi+\Biggl[-\frac a{3b}\cos(bx)\Biggr]_{3\pi/4}^{\pi}+\frac34\pi\\&=-\frac a{3b}\left(\cos\left(\frac{b\pi}4\right)-1\right)-\frac a{3b}\left(\cos(b\pi)-\cos\left(\frac{3b\pi}4\right)\right)+\frac32\pi\end{aligned}$이므로$\displaystyle 0=-\frac a{3b}\left(\cos\left(\frac{b\pi}4\right)-1\right)-\frac a{3b}\left(\cos(b\pi)-\cos\left(\frac{3b\pi}4\right)\right)$이고, $\displaystyle a,b$가 자연수 이므로$\displaystyle \cos\left(\frac{b\pi}4\right)+\cos(b\pi)-\cos\left(\frac{3b\pi}4\right)=1$ ………………… ①이다. ①로부터 $\displaystyle b$는 짝수이다.

또한 조건 (ii)로부터$\displaystyle 1=\int_0^{\pi/3}(h(x)-3)\,dx=\int_0^{\pi/3}\frac a3\sin(bx)\,dx=\Biggl[-\frac a{3b}\cos(bx)\Biggr]_0^{\pi/3}=-\frac a{3b}\left(\cos\left(\frac{b\pi}3\right)-1\right)$ … ②이다. $\displaystyle b$가 짝수이므로, 자연수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle \cos\left(\frac{b\pi}3\right)=\begin{cases}-\frac12,&b=6k-2\text{ 또는 }6k-4\\1,&b=6k\end{cases}$이다. 식 ②로부터$\displaystyle 1=-\frac a{3b}\left(\cos\left(\frac{b\pi}3\right)-1\right)=\begin{cases}\frac a{2b},&b=6k-2\text{ 또는 }6k-4\\0,&b=6k\end{cases}$이다. 따라서 조건 (i), (ii)를 만족시키는 자연수의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 다음과 같다.$\displaystyle (12k-4,6k-2),\;(12k-8,6k-4)\quad(k=1,2,3,\cdots)$

이중에서 조건 (iii)를 만족시키는 순서쌍은$\displaystyle (12k-4,6k-2)\;(k=1,2,\cdots,5)$와 $\displaystyle (12k-8,6k-4)\;(k=1,2,\cdots,6)$이다. 이를 나열하면 다음과 같다.$\displaystyle (4,2),(8,4),(16,8),(20,10),(28,14),(32,16),(40,20),(44,22),(52,26),(56,28),(64,32)$