자연계열 2번

[논제 1] 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,b)$는 포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 위의 점이므로 $\displaystyle b^2=4a$에서 $\displaystyle b=2\sqrt a$이다.포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,2\sqrt a)$에서 접선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y=\frac1{\sqrt a}x+\sqrt a$

이 접선과 $\displaystyle x$축이 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{B}$는 $\displaystyle (-a,0)$이고, 준선과 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{C}$는 $\displaystyle \left(-1,\sqrt a-\frac1{\sqrt a}\right)$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}$이므로$\displaystyle (-2a)^2+(-2\sqrt a)^2=(a-1)^2+\left(\sqrt a-\frac1{\sqrt a}\right)^2$에서 $\displaystyle a=\frac13$이다. 따라서 $\displaystyle (a,b)=\left(\frac13,\frac2{\sqrt3}\right)$이다.

[논제 2] $\displaystyle \alpha=43^\circ$라 하고, 포물선 $\displaystyle y^2=4x$의 초점 $\displaystyle \mathrm{F}$와 점 $\displaystyle \mathrm{D}(a,b)$를 지나는 직선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \beta$라 하자.점 $\displaystyle \mathrm{D}(a,b)$에서 포물선 $\displaystyle y^2=4x$의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac1{\sqrt a}x+\sqrt a$이므로,$\displaystyle \tan\alpha=\frac1{\sqrt a}$, 즉 $\displaystyle \sqrt a=\frac1{\tan\alpha}$ ……………… ①이다. $\displaystyle \tan\beta$는 $\displaystyle \mathrm{F}(1,0)$과 $\displaystyle \mathrm{D}(a,b)$를 지나는 직선의 기울기이므로$\displaystyle \tan\beta=\frac b{a-1}=\frac{2\sqrt a}{a-1}$ ……………… ②

이다. ①을 ②에 대입하면, $\displaystyle \tan\beta=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\tan2\alpha$이므로 $\displaystyle \beta=2\alpha=86^\circ$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선 $\displaystyle m$이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$라 할 때$\displaystyle f^{\prime}(a)=\tan\alpha$이고 $\displaystyle 0<f^{\prime}(x)<1$이므로$\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi4$ ……………… ①이다. 또한 $\displaystyle \mathrm{A}$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$라 할 때$\displaystyle \angle\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{AC}=2\alpha+\frac\pi4,\;\overline{\mathrm{AA}^{\prime}}=\overline{\mathrm{BA}^{\prime}}=f(a)$

이고$\displaystyle \overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{C}}=f(a)\tan\left(2\alpha+\frac\pi4\right)=f(a)\frac{1+\tan2\alpha}{1-\tan2\alpha}$이다. 조건 (iii)으로부터$\displaystyle \begin{aligned}\frac{2f(a)}{1-\tan(\sin a)}&=\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BA}^{\prime}}+\overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{C}}\\&=f(a)+f(a)\frac{1+\tan2\alpha}{1-\tan2\alpha}\\&=\frac{2f(a)}{1-\tan2\alpha}\end{aligned}$가 성립하고$\displaystyle \tan(\sin a)=\tan2\alpha$을 얻는다. 따라서$\displaystyle 2\alpha=\sin a+k\pi\quad(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$이다. ①로부터$\displaystyle \alpha=\frac12\sin a$이므로$\displaystyle f^{\prime}(a)=\tan\alpha=\tan\left(\frac{\sin a}2\right)$를 얻는다. 그러므로 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서$\displaystyle f^{\prime}(x)=\tan\left(\frac{\sin x}2\right)$이다.

이제 $\displaystyle f(0)=0$이므로 부분적분에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\pi/2}f(x)\sin x\,dx&=\Biggl[-f(x)\cos x\Biggr]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}f^{\prime}(x)\cos x\,dx\\&=\int_0^{\pi/2}\left[\tan\left(\frac{\sin x}2\right)\right]\cos x\,dx\\&=\int_0^{1/2}2\tan t\,dt\quad\left(\frac{\sin x}2=t\text{로 치환}\right)\\&=-2\ln\cos\frac12\end{aligned}$이다.