자연계열 2번

단국대 2018학년도 수시논술(오후) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2018su_pm/jayeon_2

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (55점)

(가) 초점이 $\displaystyle \mathrm{F}(p,0)$ 이고 준선이 $\displaystyle x=-p$ 인 포물선의 방정식은 $\displaystyle y^2=4px\quad(p\ne0)$ 이고, 포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 의 그래프는 다음 그림과 같다.

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능할 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$ 에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$ 이고, 접선이 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$ 라 할 때 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\tan\alpha$ 이다.

(다) 함수 $\displaystyle y=\tan x$ 는 아래와 같은 성질을 갖는다.(1) $\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ , 특히 $\displaystyle \tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ (2) $\displaystyle \tan x$ 는 주기가 $\displaystyle \pi$ 인 주기함수이다(3) $\displaystyle \int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$ (단, $\displaystyle C$ 는 적분상수)

(라) 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능할 때 다음이 성립한다.(1) [치환적분법] $\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$ (2) [부분적분법] $\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$

[논제 1] 포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,b)$ 에서의 접선이 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ , 준선과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}$ 일 때, $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 좌표를 구하시오.(단, $\displaystyle b>0$ ) (15점)

[논제 2] 포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 에서의 접선이 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\displaystyle 43^\circ$ 라 하자.포물선의 초점 $\displaystyle \mathrm{F}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 를 지나는 직선이 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 구하시오.(15점)

[논제 3] 실수 $\displaystyle x$ ( $\displaystyle x\ne0$ )에 대하여 $\displaystyle 0<f^{\prime}(x)<1$ 이고 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$ 인 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 있다.실수 $\displaystyle a$ ( $\displaystyle 0<a\le\frac\pi2$ )에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,f(a))$ 에서의 접선 $\displaystyle m$ 과 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 지나는 두 직선 $\displaystyle \ell_1$ , $\displaystyle \ell_2$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(i) $\displaystyle \ell_1$ 의 기울기가 $\displaystyle 1$ 이다.

(ii) $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle \ell_1$ 이 이루는 각의 크기와 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle \ell_2$ 가 이루는 각의 크기가 서로 같다.

(iii) $\displaystyle \ell_1$ 이 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}(b,0)$ , $\displaystyle \ell_2$ 가 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}(c,0)$ 라 할 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\frac{2f(a)}{1-\tan(\sin a)}$ (단, $\displaystyle b<a<c$ )

이때 $\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(x)\sin x\,dx$ 을 구하시오.(단, $\displaystyle f(0)=0$ ) (25점)Comment. 논제 3은 조건 (iii)의 등식이 성립할 수 없는 $\displaystyle a$ 의 값이 있어, 주어진 범위 전체에서 조건을 만족하는 함수가 존재하지 않는 출제 오류 문항이다.Caution. 식을 길이나 넓이로 해석할 때는 그 값이 음이 아닌지 확인해야 한다: 논제 3에서 $\displaystyle a=\frac\pi2$ 이면 $\displaystyle f(a)>0$ 인데 $\displaystyle 1-\tan(\sin a)=1-\tan1<0$ 이므로, 선분 $\displaystyle BC$ 의 길이로 제시한 $\displaystyle \frac{2f(a)}{1-\tan(\sin a)}$ 가 음수가 된다. 이 값은 선분의 길이가 될 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$ 이 아닌지 확인해야 한다: 논제 3에서 $\displaystyle 0<a_0<\frac\pi2$ , $\displaystyle \sin a_0=\frac\pi4$ 인 $\displaystyle a_0$ 를 잡으면, 조건 (iii)의 분모 $\displaystyle 1-\tan(\sin a_0)$ 는 $\displaystyle 0$ 이다. $\displaystyle f(0)=0$ 이고 $\displaystyle x>0$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이므로 $\displaystyle f(a_0)>0$ 이며, 이때 $\displaystyle \frac{2f(a_0)}{1-\tan(\sin a_0)}$ 는 정의되지 않는다. 따라서 주어진 범위 전체에서 조건 (iii)를 만족하는 함수는 존재하지 않으므로, 대학 예시답안의 값 $\displaystyle -2\ln\cos\frac12$ 을 원문의 조건에 대한 답으로 볼 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

해설강의 준비중

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+3점 · 접선의 방정식

\displaystyle y=\frac1{\sqrt a}x+\sqrt a

을 제시

[논제 1] 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,b)$ 는 포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 위의 점이므로 $\displaystyle b^2=4a$ 에서 $\displaystyle b=2\sqrt a$ 이다.포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,2\sqrt a)$ 에서 접선의 방정식은 다음과 같다. $\displaystyle y=\frac1{\sqrt a}x+\sqrt a$

+7점 ·

\displaystyle a=\frac13

을 제시

이 접선과 $\displaystyle x$ 축이 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 는 $\displaystyle (-a,0)$ 이고, 준선과 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 는 $\displaystyle \left(-1,\sqrt a-\frac1{\sqrt a}\right)$ 이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}$ 이므로 $\displaystyle (-2a)^2+(-2\sqrt a)^2=(a-1)^2+\left(\sqrt a-\frac1{\sqrt a}\right)^2$ 에서 $\displaystyle a=\frac13$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle (a,b)=\left(\frac13,\frac2{\sqrt3}\right)

을 제시

따라서 $\displaystyle (a,b)=\left(\frac13,\frac2{\sqrt3}\right)$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle \beta=2\alpha

을 제시

[논제 2] $\displaystyle \alpha=43^\circ$ 라 하고, 포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 의 초점 $\displaystyle \mathrm{F}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{D}(a,b)$ 를 지나는 직선이 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \beta$ 라 하자.점 $\displaystyle \mathrm{D}(a,b)$ 에서 포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac1{\sqrt a}x+\sqrt a$ 이므로, $\displaystyle \tan\alpha=\frac1{\sqrt a}$ , 즉 $\displaystyle \sqrt a=\frac1{\tan\alpha}$ ……………… ①이다. $\displaystyle \tan\beta$ 는 $\displaystyle \mathrm{F}(1,0)$ 과 $\displaystyle \mathrm{D}(a,b)$ 를 지나는 직선의 기울기이므로 $\displaystyle \tan\beta=\frac b{a-1}=\frac{2\sqrt a}{a-1}$ ……………… ②

+5점 ·

\displaystyle \beta=86^\circ

을 제시

이다. ①을 ②에 대입하면, $\displaystyle \tan\beta=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\tan2\alpha$ 이므로 $\displaystyle \beta=2\alpha=86^\circ$ 이다.

[논제 3]

+5점 ·

\displaystyle \angle\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{AC}=2\alpha+\frac\pi4

임을 제시

점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 의 접선 $\displaystyle m$ 이 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$ 라 할 때 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\tan\alpha$ 이고 $\displaystyle 0<f^{\prime}(x)<1$ 이므로 $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi4$ ……………… ①이다. 또한 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$ 라 할 때 $\displaystyle \angle\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{AC}=2\alpha+\frac\pi4,\;\overline{\mathrm{AA}^{\prime}}=\overline{\mathrm{BA}^{\prime}}=f(a)$

+10점 ·

\displaystyle f^{\prime}(a)=\tan\left(\frac{\sin a}2\right)

임을 유도

이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{C}}=f(a)\tan\left(2\alpha+\frac\pi4\right)=f(a)\frac{1+\tan2\alpha}{1-\tan2\alpha}$ 이다. 조건 (iii)으로부터 $\displaystyle \begin{aligned}\frac{2f(a)}{1-\tan(\sin a)}&=\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BA}^{\prime}}+\overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{C}}\\&=f(a)+f(a)\frac{1+\tan2\alpha}{1-\tan2\alpha}\\&=\frac{2f(a)}{1-\tan2\alpha}\end{aligned}$ 가 성립하고 $\displaystyle \tan(\sin a)=\tan2\alpha$ 을 얻는다. 따라서 $\displaystyle 2\alpha=\sin a+k\pi\quad(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$ 이다. ①로부터 $\displaystyle \alpha=\frac12\sin a$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\tan\alpha=\tan\left(\frac{\sin a}2\right)$ 를 얻는다. 그러므로 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\tan\left(\frac{\sin x}2\right)$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(x)\sin x\,dx=\int_0^{\pi/2}f^{\prime}(x)\cos x\,dx

을 제시

+5점 ·

\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(x)\sin x\,dx=-2\ln\cos\frac12

임을 제시

이제 $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 부분적분에 의하여 $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\pi/2}f(x)\sin x\,dx&=\Biggl[-f(x)\cos x\Biggr]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}f^{\prime}(x)\cos x\,dx\\&=\int_0^{\pi/2}\left[\tan\left(\frac{\sin x}2\right)\right]\cos x\,dx\\&=\int_0^{1/2}2\tan t\,dt\quad\left(\frac{\sin x}2=t\text{로 치환}\right)\\&=-2\ln\cos\frac12\end{aligned}$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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