자연계열 2번

[논제 1] 아래 그림에서 $\displaystyle \mathrm{P}_r$가 점 $\displaystyle \left(\frac13,1\right)$이려면, $\displaystyle \frac r{1-r}=4m+\frac83$ ($\displaystyle m=0,1,2,\cdots$)이므로

구하는 집합$\displaystyle T$는 다음과 같다.$\displaystyle T=\left\{\frac{12m+8}{12m+11}\;\middle|\;m=0,1,2,\cdots\right\}$

[논제 2] 먼저 구간 $\displaystyle \left(0,\frac45\right]$에서 $\displaystyle f(r)$를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle f(r)=\begin{cases}\frac r{1-r},&0<r<\frac12\\1,&\frac12\le r\le\frac23\\3-\frac r{1-r},&\frac23<r<\frac34\\0,&\frac34\le r\le\frac45\end{cases}$

같은 방법으로, 구간 $\displaystyle \left(\frac{4m+4}{4m+5},\frac{4(m+1)+4}{4(m+1)+5}\right]$ ($\displaystyle m=0,1,2,\cdots$)에서 $\displaystyle f(r)$을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle f(r)=\begin{cases}\frac r{1-r}-4(m+1),&\frac{4m+4}{4m+5}<r<\frac{4m+5}{4m+6}\\1,&\frac{4m+5}{4m+6}\le r\le\frac{4m+6}{4m+7}\\4(m+1)+3-\frac r{1-r},&\frac{4m+6}{4m+7}<r<\frac{4m+7}{4m+8}\\0,&\frac{4m+7}{4m+8}\le r\le\frac{4m+8}{4m+9}\end{cases}$

이다. 함수 $\displaystyle f(r)$는 유리함수와 상수함수가 만나는 점에서 미분가능하지 않고, 그 $\displaystyle r$의 값을 차례로 나열하면 다음과 같다.$\displaystyle \frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\cdots,\frac{4m+1}{4m+2},\frac{4m+2}{4m+3},\frac{4m+3}{4m+4},\frac{4m+4}{4m+5},\cdots$

그러므로 함수 $\displaystyle f(r)$가 미분가능하지 않은 $\displaystyle r$의 집합은 다음과 같다.$\displaystyle \left\{\frac n{n+1}\;\middle|\;n=1,2,3,\cdots\right\}$

[논제 3] 조건 (ii)로부터$\displaystyle \overline{\mathrm{A^{\prime}P_r}}+\overline{\mathrm{AP_r}}=\overline{\mathrm{A^{\prime}P_s}}+\overline{\mathrm{AP_s}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}_r$와 $\displaystyle \mathrm{P}_s$는 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{A}^{\prime}$을 초점으로 하는 타원$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$위에 있다.Comment. 두 점이 이 타원 위에 있다는 결론에는 공통 거리 합이 $\displaystyle 2$보다 크다는 조건이 필요하다. 원문은 거리 합이 $\displaystyle 2$인 경우도 허용한다. 임의의 $\displaystyle 0<r<\frac12$에 대하여 $\displaystyle s=\frac{r+1/2}{2}$로 두면 $\displaystyle r<s<\frac12$이고 $\displaystyle P_r,P_s$는 모두 선분 $\displaystyle OA$ 위에 있다. 이때 두 점에서 각각 두 초점까지의 거리 합은 모두 $\displaystyle 2$이다. 조건 (ii)가 성립하므로 두 점이 각각 $\displaystyle AB,BC$ 위에 있다고 단정할 수 없다. 따라서 가능한 $\displaystyle r$의 하한은 $\displaystyle 0$이며 최솟값은 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.여기서$\displaystyle \overline{\mathrm{A^{\prime}P_r}}+\overline{\mathrm{AP_r}}=\overline{\mathrm{A^{\prime}P_s}}+\overline{\mathrm{AP_s}}=2a,$$\displaystyle b^2=a^2-1$

이다. 한편, 두 초점이 $\displaystyle (-1,0),(1,0)$이고, 조건 (i)로부터$\displaystyle \mathrm{P}_r$는 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 있고, $\displaystyle \mathrm{P}_s$는 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 위에 있다.

따라서 타원이 점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 지날 때 $\displaystyle r$이 구하는 최솟값이다.

점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 지나는 타원의 방정식은$\displaystyle \frac{x^2}2+y^2=1$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_r$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2$이다. $\displaystyle \mathrm{P}_r$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac r{1-r}-1$이므로$\displaystyle \frac r{1-r}-1=\frac{\sqrt2}2$에서 구하는 최솟값은 $\displaystyle r=\frac{3+\sqrt2}7$이다.