자연계열 1번

단국대 2018학년도 수시논술(오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2018su_pm/jayeon_1

[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (45점)

(가) 두 공간벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ 가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$ ( $\displaystyle 0\le\theta\le\pi$ )일 때, $\displaystyle |\vec a||\vec b|\cos\theta$ 를 두 벡터 $\displaystyle \vec a$ 와 $\displaystyle \vec b$ 의내적이라 하고, 기호로 $\displaystyle \vec a\cdot\vec b$ 와 같이 나타낸다. 즉, $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,a_3)$ , $\displaystyle \vec b=(b_1,b_2,b_3)$ 일 때, 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

(나) 표본공간 $\displaystyle S$ 에서 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률은 $\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}$

(다) 연속함수는 여러 가지 좋은 성질을 가지고 있다. 예를 들면,(1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 이 구간에서 $\displaystyle f(x)$ 는 항상 최댓값과 최솟값을 가진다.(2) 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x),y=g(x)$ 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$

[논제 1] 좌표공간에서 점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,0,a)$ 를 중심으로 하고 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,0,0)$ 을 지나는 구가 직선 $\displaystyle l:x=t,\;y=2t,\;z=t+a$ 와 만나는 두 점 중에서 $\displaystyle z$ 좌표의 값이 큰 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서 $\displaystyle y$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}$ 라 할 때, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=10+4\sqrt3$ 를 만족시킨다. 이때 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.(단, $\displaystyle a>0$ 이고, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다) (15점)

[논제 2] 자연수 $\displaystyle n$ ( $\displaystyle n=2,3,4,\cdots,20$ )에 대하여 집합 $\displaystyle A_n$ , $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 를 다음과 같이 정의하자. $\displaystyle A_n=\{(m,k)\mid m+k=n,\;m,k\text{는 자연수}\}$ $\displaystyle A=A_2\cup A_3\cup A_4\cup\cdots\cup A_{20}$ $\displaystyle B=A-\{(m,k)\in A_{20}\mid m>k\}$ 집합 $\displaystyle B$ 에서 한 개의 원소 $\displaystyle (m,k)$ 를 택할 때, $\displaystyle m+k\ge a$ ( $\displaystyle a=2,3,4,\cdots,20$ )일 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}_a$ 라하자. 이때 $\displaystyle \mathrm{P}_a<\frac12$ 이 되는 $\displaystyle a$ 의 최솟값을 구하시오. (15점)

[논제 3] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이다. 실수 $\displaystyle t$ ( $\displaystyle 0\le t\le2$ )에 대하여 직선 $\displaystyle y=f(t)$ , 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 및 두 직선 $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=2$ 로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle s(t)$ 라 하자.함수 $\displaystyle s(t)$ 가 최소가 되는 $\displaystyle t$ 의 값을 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

단국대 2018학년도 수시논술(오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2018su_pm/jayeon_1

+5점 · 직선의 방정식

\displaystyle x_0=t_0,y_0=2t_0,z_0=t_0+a

를 제시

[논제 1] 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 좌표를 $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ 라 하면, $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}(0,y_0,0)$ 이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=10+4\sqrt3$ 로부터 $\displaystyle x_0^2+z_0^2=10+4\sqrt3$ ………… ①을 얻는다. 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 가 직선 $\displaystyle l$ 위의 점이므로 $\displaystyle x_0=t_0,y_0=2t_0,z_0=t_0+a$

+5점 ·

\displaystyle t_0=\frac1{\sqrt3}a

를 제시

로 나타낼 수 있다. 또한, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 가 구 $\displaystyle x^2+y^2+(z-a)^2=2a^2$ 위의 점이므로 $\displaystyle t_0^2=\frac13a^2$ 이다. 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 $\displaystyle z$ 좌표에 대한 조건으로부터 $\displaystyle t_0=\frac1{\sqrt3}a$ 이고, 따라서

+5점 ·

\displaystyle a=\sqrt6

을 제시

$\displaystyle x_0=\frac1{\sqrt3}a,z_0=\frac1{\sqrt3}a+a$ 를 ①에 대입하면, $\displaystyle a=\sqrt6$ 이다.

+6점 · 집합

\displaystyle B

의 원소의 개수를 제시

[논제 2] 집합 $\displaystyle B$ 의 원소를 나열하면 다음과 같다. $\displaystyle \begin{gathered}(1,1)\\(1,2),(2,1)\\(1,3),(2,2),(3,1)\\(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\\\vdots\\(1,18),(2,17),(3,16),\cdots\cdots\cdots\cdots,(18,1)\\(1,19),(2,18),(3,17),\cdots,(10,10)\end{gathered}$ 따라서 $\displaystyle 2\le n\le19$ 인 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle A_n$ 의 원소의 개수는 각각 $\displaystyle n-1$ 이고, 이에 따라 집합 $\displaystyle B$ 의 원소의 개수는 다음과 같다. $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{18}i\right)+10=171+10=181$

+6점 ·

\displaystyle m+k\le14

인

\displaystyle B

의 원소의 개수를 제시

한편, $\displaystyle m+k\le14$ 인 $\displaystyle B$ 의 원소의 개수는 $\displaystyle \sum_{i=1}^{13}i=91$ 이므로 $\displaystyle m+k\ge15$ 인 집합 $\displaystyle B$ 의 원소의 개수는 $\displaystyle 90$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle a

의 최솟값은

\displaystyle 15

을 제시

따라서 $\displaystyle \mathrm{P}_{15}=\frac{90}{181}\left(<\frac12\right)$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P}_{14}>\frac12$ 이므로 구하는 $\displaystyle a$ 의 최솟값은 $\displaystyle 15$ 이다.

+7점 · 영역의 넓이

\displaystyle s(t)

를 제시

[논제 3] 영역의 넓이 $\displaystyle s(t)$ 는 $\displaystyle \begin{aligned}s(t)&=\int_0^t[f(t)-f(x)]\,dx+\int_t^2[f(x)-f(t)]\,dx\\&=\int_0^tf(t)\,dx-\int_0^tf(x)\,dx-\int_2^tf(x)\,dx-\int_t^2f(t)\,dx\\&=tf(t)-\int_0^tf(x)\,dx-\int_2^tf(x)\,dx-(2-t)f(t)\end{aligned}$

+5점 ·

\displaystyle s(t)

의 도함수 제시

이고 양변을 $\displaystyle t$ 에 대하여 미분하면 $\displaystyle \begin{aligned}\frac{ds}{dt}(t)&=f(t)+tf^{\prime}(t)-f(t)-f(t)+f(t)+(t-2)f^{\prime}(t)\\&=2(t-1)f^{\prime}(t)\end{aligned}$ $\displaystyle f^{\prime}(t)>0$ 이므로 $\displaystyle s(t)$ 의 증감을 조사하면 다음과 같다.

+3점 ·

\displaystyle t=1

를 제시

$\displaystyle t$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle s^{\prime}(t)$	$\displaystyle -$	$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$	$\displaystyle +$
$\displaystyle s(t)$		$\displaystyle \searrow$	극소(최소)	$\displaystyle \nearrow$

구간 $\displaystyle [0,2]$ 에서 $\displaystyle t=1$ 일 때 $\displaystyle s(t)$ 가 최소가 된다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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