자연계열 1번

[논제 1] 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표를 $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$라 하면, $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}(0,y_0,0)$이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=10+4\sqrt3$로부터$\displaystyle x_0^2+z_0^2=10+4\sqrt3$ ………… ①을 얻는다. 점 $\displaystyle \mathrm{B}$가 직선 $\displaystyle l$ 위의 점이므로$\displaystyle x_0=t_0,y_0=2t_0,z_0=t_0+a$

로 나타낼 수 있다. 또한, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$가 구 $\displaystyle x^2+y^2+(z-a)^2=2a^2$ 위의 점이므로 $\displaystyle t_0^2=\frac13a^2$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의$\displaystyle z$좌표에 대한 조건으로부터 $\displaystyle t_0=\frac1{\sqrt3}a$이고, 따라서

$\displaystyle x_0=\frac1{\sqrt3}a,z_0=\frac1{\sqrt3}a+a$를 ①에 대입하면, $\displaystyle a=\sqrt6$이다.

[논제 2] 집합 $\displaystyle B$의 원소를 나열하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{gathered}(1,1)\\(1,2),(2,1)\\(1,3),(2,2),(3,1)\\(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\\\vdots\\(1,18),(2,17),(3,16),\cdots\cdots\cdots\cdots,(18,1)\\(1,19),(2,18),(3,17),\cdots,(10,10)\end{gathered}$따라서 $\displaystyle 2\le n\le19$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle A_n$의 원소의 개수는 각각 $\displaystyle n-1$이고, 이에 따라 집합 $\displaystyle B$의 원소의 개수는 다음과 같다.$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{18}i\right)+10=171+10=181$

한편, $\displaystyle m+k\le14$인 $\displaystyle B$의 원소의 개수는 $\displaystyle \sum_{i=1}^{13}i=91$이므로 $\displaystyle m+k\ge15$인 집합 $\displaystyle B$의 원소의 개수는 $\displaystyle 90$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}_{15}=\frac{90}{181}\left(<\frac12\right)$이고 $\displaystyle \mathrm{P}_{14}>\frac12$이므로 구하는 $\displaystyle a$의 최솟값은 $\displaystyle 15$이다.

[논제 3] 영역의 넓이 $\displaystyle s(t)$는$\displaystyle \begin{aligned}s(t)&=\int_0^t[f(t)-f(x)]\,dx+\int_t^2[f(x)-f(t)]\,dx\\&=\int_0^tf(t)\,dx-\int_0^tf(x)\,dx-\int_2^tf(x)\,dx-\int_t^2f(t)\,dx\\&=tf(t)-\int_0^tf(x)\,dx-\int_2^tf(x)\,dx-(2-t)f(t)\end{aligned}$

이고 양변을 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}\frac{ds}{dt}(t)&=f(t)+tf^{\prime}(t)-f(t)-f(t)+f(t)+(t-2)f^{\prime}(t)\\&=2(t-1)f^{\prime}(t)\end{aligned}$$\displaystyle f^{\prime}(t)>0$이므로 $\displaystyle s(t)$의 증감을 조사하면 다음과 같다.

구간 $\displaystyle [0,2]$에서 $\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle s(t)$가 최소가 된다.