자연계열 1번

[논제 1] 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 구 $\displaystyle S$ 위에 있고 $\displaystyle \angle\mathrm{AOP}=\frac\pi3$인 점이므로점 $\displaystyle \mathrm{P}$로 이루어지는 곡선은 중심이 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$ 위에 있고반지름의 길이가 $\displaystyle 3\sin\frac\pi3=\frac{3\sqrt3}2$인 원이다.

따라서 구하려는 곡선의 길이는$\displaystyle 2\times\frac{3\sqrt3}2\times\pi=3\sqrt3\pi$이다.

[논제 2] 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은 $\displaystyle x+y+z=3$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 평면 $\displaystyle \alpha$사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt3$이므로$\displaystyle r=\sqrt{9-3}=\sqrt6$이다. 또한 $\displaystyle \angle\mathrm{GOP}=\theta$라 하면$\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt6}3,\quad\cos\theta=\frac{\sqrt3}3$

이다. $\displaystyle \angle\mathrm{POP}^{\prime}=\pi$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{POQ}=3\angle\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{OQ}$인점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 $\displaystyle \angle\mathrm{POQ}=\frac{3\pi}4$를 만족시킨다.이로부터 $\displaystyle \angle\mathrm{GOQ}$는 일정한 값 $\displaystyle \frac{3\pi}4-\theta$이므로점 $\displaystyle \mathrm{Q}$로 이루어지는 곡선은 평면 $\displaystyle \alpha$와 평행한 원이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\sin\left(\frac{3\pi}4-\theta\right)&=\sin\frac{3\pi}4\cos\theta-\cos\frac{3\pi}4\sin\theta\\&=\frac{\sqrt2}2\left(\frac{\sqrt6}3+\frac{\sqrt3}3\right)\end{aligned}$으로부터 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$로 이루어지는 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle 3\sin\left(\frac{3\pi}4-\theta\right)=\frac{\sqrt6(\sqrt2+1)}2$이고, 이 원의 길이는 $\displaystyle \sqrt6(\sqrt2+1)\pi$이다. 따라서 $\displaystyle a=\sqrt6$이다.

[논제 3] 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은 $\displaystyle x+y+z=k$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 평면 $\displaystyle \alpha$사이의 거리는 $\displaystyle \frac k{\sqrt3}$이므로$\displaystyle r=\sqrt{9-\frac{k^2}3}=\frac{\sqrt{27-k^2}}{\sqrt3}$ … ①

이다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GB}}=(t,2t,3t)$ ($\displaystyle t$는 실수)라 하면점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 조건 $\displaystyle \sqrt{14}|t|=\frac{2\sqrt7}3r$로부터$\displaystyle t=\frac{\sqrt2}3r$ 또는 $\displaystyle t=-\frac{\sqrt2}3r$ … ②를 얻는다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm{B}$에서 평면 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발을$\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}$이라 하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}$은 $\displaystyle \vec v=(1,1,1)$과 평행하고$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}$은 $\displaystyle \vec v=(1,1,1)$에 수직이다. 따라서 실수 $\displaystyle s$가 존재하여

[그림 1]

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=(s,s,s)$$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=(t+s,2t+s,3t+s)$$\displaystyle (t+s,2t+s,3t+s)\cdot(1,1,1)=0$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle s=-2t$이다. 그러므로$\displaystyle t=\frac{\sqrt2}3r,\;s=-\frac{2\sqrt2}3r$ 또는 $\displaystyle t=-\frac{\sqrt2}3r,\;s=\frac{2\sqrt2}3r$이다. 따라서$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=-\frac{2\sqrt2}3r(1,1,1),\quad\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}=\frac{\sqrt2}3r(-1,0,1)$또는$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=\frac{2\sqrt2}3r(1,1,1),\quad\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}=-\frac{\sqrt2}3r(-1,0,1)$이다. 그러므로$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}|=\frac{2\sqrt6}3r,\quad|\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}|=\frac23r$ … ③이다.

[그림 1]과 [그림 2]로부터 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{BR}}|$의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}|^2+(r-|\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}|)^2}$임을 알 수 있고, ③, ①과 문제의 조건으로부터$\displaystyle \sqrt{\frac{8r^2}3+\left(r-\frac{2r}3\right)^2}=\frac{5r}3=\frac53\times\frac{\sqrt{27-k^2}}{\sqrt3}=\frac53$이므로 $\displaystyle k=2\sqrt6$이다.