자연계열 2번

[논제 1]점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터 $\displaystyle (1,-1,2)$를 방향벡터로 하고 점 $\displaystyle (-1,-5,4)$를 지나는 직선 위에 있고,또한 평면 $\displaystyle \gamma$의 법선벡터 $\displaystyle (1,1,-10)$을 방향벡터로 하고 점 $\displaystyle (1,-5,-4)$를 지나는 직선 위에도 있다.따라서 두 직선의 방정식$\displaystyle x+1=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-4}2,\quad x-1=y+5=\frac{z+4}{-10}$을 연립하여 풀면 $\displaystyle \mathrm{P}(0,-6,6)$을 얻는다. 또한

두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O_1O_2}},\overrightarrow{\mathrm{O_1Q_1}}$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_1$이라할 때$\displaystyle 3\le\overrightarrow{\mathrm{O_1O_2}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O_1Q_1}}=|\overrightarrow{\mathrm{O_1O_2}}||\overrightarrow{\mathrm{O_1Q_1}}|\cos\theta_1=6\cos\theta_1$이므로 $\displaystyle \cos\theta_1\ge\frac12$이다. 즉, $\displaystyle 0\le\theta_1\le\frac\pi3$. 마찬가지로 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O_1O_2}},\overrightarrow{\mathrm{O_2Q_2}}$가 이루는 각의 크기 $\displaystyle \theta_2$의 범위는 $\displaystyle \frac\pi3\le\theta_2\le\pi$이다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O_1Q_1}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O_1Q_2}}$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라 할 때$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O_1Q_1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O_1Q_2}}=|\overrightarrow{\mathrm{O_1Q_2}}|\cos\theta$$\displaystyle =(\text{점 }\mathrm{O}_1\text{으로부터 점 }\mathrm{Q}_2\text{에서 직선 }\mathrm{O}_1\mathrm{Q}_1\text{에 내린 수선의 발까지의 거리})$이다. 따라서 $\displaystyle \theta_1$이 증가할 때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O_1Q_1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O_1Q_2}}$는 감소하므로, [그림 1]과 같이 $\displaystyle \theta_1=\frac\pi3$일 때 최솟값 $\displaystyle 2$를 갖는다.

그러므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ_1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ_2}}$의 최솟값은 $\displaystyle 20$이다.

[논제 2] 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영의 지름의 길이와 $\displaystyle \beta$ 위로의 정사영의 한 변의 길이가 서로 같기 때문에, $\displaystyle \gamma$위로의 정사영의 넓이가 최대가 되는 입체도형은 그림 [1]과 같이 비스듬히 잘린 원기둥이다. 입체도형 $\displaystyle E$를 이 원기둥이라 하자. 따라서 $\displaystyle E$의 평면 $\displaystyle \gamma$위로의 정사영은 그림 [2]와 같이 평행사변형 $\displaystyle Z$와 양 쪽에 붙은 $\displaystyle T_1$과 $\displaystyle T_2$의 $\displaystyle \gamma$위로의 정사영과 같다. 그림 [3]과 같이 $\displaystyle T_1$과 $\displaystyle T_2$를 같은 쪽으로 이동하여 붙이면 타원 $\displaystyle T$가 되므로, $\displaystyle T$와 평행사변형 $\displaystyle Z$의 $\displaystyle \gamma$위로의 정사영의 넓이를 구하면 된다.

평면 $\displaystyle \beta$ 위로의 정사영인 정사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 각 변들은 $\displaystyle T$를 포함하는 평면에 평행하거나 수직이므로, 수직인 변 중 하나를 $\displaystyle \mathrm{AB}$라 하자. 그림 [4]와 같이 평면 $\displaystyle \alpha$에 수직이고 점 $\displaystyle \mathrm{A}$를 지나는 직선과 평면 $\displaystyle \beta$에 수직이고 점 $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{F}$라 하자. $\displaystyle \ell=|\overrightarrow{\mathrm{AF}}|$라 하면 제시문 (라)에 의하여$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\frac\ell{\sqrt6}(1,-1,2)$이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FB}}=\frac\ell{2\sqrt6}(0,-1,-1)$ 또는$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}=-\frac\ell{\sqrt6}(1,-1,2)$이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FB}}=-\frac\ell{2\sqrt6}(0,-1,-1)$

이다. 따라서$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\frac\ell{2\sqrt6}(2,-3,3)$ 또는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\frac\ell{2\sqrt6}(2,-3,3)$이다. 그러므로 $\displaystyle T$를 포함하는 평면의 법선벡터를 $\displaystyle \vec n=(2,-3,3)$으로 두자.

타원 $\displaystyle T$를 포함하는 평면과 $\displaystyle \alpha$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_1$이라 하면 $\displaystyle (T\text{의 넓이})\times\cos\theta_1=\pi$이고,법선벡터 $\displaystyle \vec n$과 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터 $\displaystyle (1,-1,2)$가 이루는 각의 크기도 $\displaystyle \theta_1$이므로 제시문 (다)에 의해$\displaystyle (T\text{의 넓이})=\frac\pi{\cos\theta_1}=\frac{2\sqrt{33}\pi}{11}$이다. 따라서 평면 $\displaystyle \gamma$과 $\displaystyle T$를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_2$라 하면 $\displaystyle \cos\theta_2=\frac{31}{2\sqrt{11}\sqrt{51}}$이므로$\displaystyle (T\text{의 }\gamma\text{위로의 정사영의 넓이})=\frac{31}{11\sqrt{17}}\pi$

이제 평행사변형 $\displaystyle Z$의 넓이를 구하자. $\displaystyle Z$의 높이는 $\displaystyle 2$이므로 밑변의 길이 $\displaystyle \ell$을 구하면 된다. $\displaystyle Z$의 밑변은 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터 $\displaystyle (1,-1,2)$와 평행하고 $\displaystyle Z$의 $\displaystyle \beta$로의 정사영은 법선벡터 $\displaystyle \vec n$과 평행하므로$\displaystyle \ell=\frac2{\cos\theta_1}=\frac{4\sqrt{33}}{11}$이다. 따라서 $\displaystyle (Z\text{의 넓이})=\frac{8\sqrt{33}}{11}$이다. 평면 $\displaystyle \gamma$과 $\displaystyle Z$를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_3$라 하면 $\displaystyle (90^\circ-\theta_3)$는 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터 $\displaystyle (1,-1,2)$와 $\displaystyle \gamma$의 법선벡터 $\displaystyle (1,1,-10)$이 이루는 각의 크기이므로 $\displaystyle \cos(90^\circ-\theta_3)=\frac{20}{\sqrt6\sqrt{102}}$이다. 그러므로$\displaystyle (Z\text{의 }\gamma\text{위로의 정사영의 넓이})=(Z\text{의 넓이})\times\cos\theta_3=\frac83\sqrt{\frac{159}{187}}$

이다. 결국 $\displaystyle (E\text{의 }\gamma\text{위로의 정사영의 넓이})=\frac{31}{11\sqrt{17}}\pi+\frac83\sqrt{\frac{159}{187}}$이다.