자연계열 1번

[논제 1] 함수 $\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)$라 하면 $\displaystyle F^{\prime}(x)=2(e^x-1)(x-3)$이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=3$일 때 $\displaystyle F^{\prime}(x)=0$이다.

$\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle (-10,0)$에서 증가, $\displaystyle (0,3)$에서 감소, $\displaystyle (3,10)$에서 다시 증가하므로$\displaystyle F(-10)<0$, $\displaystyle F(0)>0,F(3)<0$, $\displaystyle F(10)>0$이면 $\displaystyle F(x)=0$은 $\displaystyle (-10,10)$에서 세 근을 갖는다.즉, $\displaystyle -28e^{-10}-160+k<0$, $\displaystyle -8+k>0,9-2e^3+k<0$, $\displaystyle 12e^{10}-40+k>0$로부터$\displaystyle 8<k<2e^3-9$를 얻는다.

[논제 2] $\displaystyle f(x)=0$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac n{n+1}\right)=0$이고, $\displaystyle f(x)\ne0$인 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}h(x)&=\lim_{n\to\infty}\left(|nf(x)-1|-n\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|\right)\\&=\lim_{n\to\infty}n\left(\left|f(x)-\frac1n\right|-\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n\left(\left|f(x)-\frac1n\right|^2-\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|^2\right)}{\left|f(x)-\frac1n\right|+\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{-2f(x)+\frac1n-2f(x)\frac n{n+1}-\frac n{(n+1)^2}}{\left|f(x)-\frac1n\right|+\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|}\\&=-2\frac{f(x)}{|f(x)|}=\begin{cases}-2,&(f(x)>0)\\2,&(f(x)<0)\end{cases}\end{aligned}$

이다. 따라서 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}-2,&(x>4)\\0,&(x=4)\\2,&(x<4)\end{cases}$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$가 불연속인 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle x=4$이다.

[논제 3]$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n\frac{x_k^2-x_{k-1}^2}{x_{k-1}x_k^2}&=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{x_{k-1}x_k}+\frac1{x_k^2}\right)(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{x_{k-1}}-\frac1{x_k}\right)+\sum_{k=1}^n\frac1{x_k^2}(x_k-x_{k-1})\\&=\left(1-\frac1a\right)+\sum_{k=1}^n\frac1{x_k^2}(x_k-x_{k-1})\end{aligned}$

로부터$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{x_k^2-x_{k-1}^2}{2x_{k-1}x_k^2}\right)&=\frac12\left(1-\frac1a\right)+\frac12\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{x_k^2}(x_k-x_{k-1})\\&=\frac12\left(1-\frac1a\right)+\frac12\int_1^a\frac1{x^2}\,dx=1-\frac1a\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle p(a)=1-\frac1a$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int\frac{e^{p(x)}}{x^3}\,dx&=\int\frac{e^{1-\frac1x}}{x^2}\frac1x\,dx\\&=e^{1-\frac1x}\frac1x-\int e^{1-\frac1x}\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\&=\left(1+\frac1x\right)e^{1-\frac1x}+C\end{aligned}$($\displaystyle C$는 적분상수)이다.