수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

단국대 2019학년도 수시 (오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2019su_pm/jayeon_1

배점55점
예상 소요 시간66분
다음 문제

문제

[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (55점)

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 실수 a\displaystyle a에 대하여 다음 조건을 만족시키면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 연속이라 한다.(1) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 정의되어 있다.(2) 극한값 lim⁡x→af(x)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)가 존재한다.(3) lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)함수 f(x)\displaystyle f(x)가 위의 세 조건 중 어느 하나라도 만족시키지 않으면 x=a\displaystyle x=a에서 불연속이라 한다.

(나) 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0일 때, x=a\displaystyle x=a의 좌우에서f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극대,f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소이다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고, 자연수 n\displaystyle n에 대하여 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]를 n\displaystyle n등분한 각 등분점(양 끝점도 포함)의 x\displaystyle x좌표를 차례로 a=x0,x1,⋯ ,xn−1,xn=b\displaystyle a=x_0,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n=b라 하자. 이때, 극한값lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)b−an\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{b-a}n를 f(x)\displaystyle f(x)의 a\displaystyle a에서 b\displaystyle b까지의 정적분이라 하고, 이를 기호로 ∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx와 같이 나타낸다.한편 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 F′(x)=f(x)\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)가 되는 함수 F(x)\displaystyle F(x)를 f(x)\displaystyle f(x)의 부정적분이라 하고,기호로 ∫f(x) dx\displaystyle \int f(x)\,dx와 같이 나타낸다.

함수 f(x)=2(x−4)ex\displaystyle f(x)=2(x-4)e^x, g(x)=x2−6x−k\displaystyle g(x)=x^2-6x-k (k\displaystyle k는 상수)h(x)=lim⁡n→∞(∣nf(x)−1∣−n∣f(x)+1n+1∣)\displaystyle h(x)=\lim_{n\to\infty}\left(|nf(x)-1|-n\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|\right)에 대하여 [논제 1]과 [논제 2]의 물음에 답하시오.

[논제 1] 닫힌 구간 [−10,10]\displaystyle [-10,10]에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 교점의 개수가 3\displaystyle 3이 되도록 하는k\displaystyle k값의 범위를 구하시오. (단, 2.7<e<2.8\displaystyle 2.7<e<2.8) (15점)

[논제 2] 함수 h(x)\displaystyle h(x)가 불연속인 x\displaystyle x의 값을 구하시오. (20점)

[논제 3] 1<a\displaystyle 1<a인 실수 a\displaystyle a와 자연수 n\displaystyle n에 대하여 구간 [1,a]\displaystyle [1,a]를 n\displaystyle n등분한 각 등분점의 x\displaystyle x좌표를 차례로1=x0,x1,⋯ ,xn−1,xn=a\displaystyle 1=x_0,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n=a라 하자. 극한값lim⁡n→∞∑k=1n(xk2−xk−122xk−1xk2)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{x_k^2-x_{k-1}^2}{2x_{k-1}x_k^2}\right)을 p(a)\displaystyle p(a)라 할 때, 부정적분∫ep(x)x3 dx\displaystyle \int\frac{e^{p(x)}}{x^3}\,dx를 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

단국대 2019학년도 수시 (오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2019su_pm/jayeon_1

+5점 · f(x)−g(x)\displaystyle f(x)-g(x)가 x=0\displaystyle x=0에서 극댓값, x=3\displaystyle x=3에서 극솟값을 가짐을 제시

[논제 1] 함수 F(x)=f(x)−g(x)\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)라 하면 F′(x)=2(ex−1)(x−3)\displaystyle F^{\prime}(x)=2(e^x-1)(x-3)이므로 x=0\displaystyle x=0 또는 x=3\displaystyle x=3일 때 F′(x)=0\displaystyle F^{\prime}(x)=0이다.

x\displaystyle x−10\displaystyle -10⋯\displaystyle \cdots0\displaystyle 0⋯\displaystyle \cdots3\displaystyle 3⋯\displaystyle \cdots10\displaystyle 10
F′(x)\displaystyle F^{\prime}(x)+\displaystyle +0\displaystyle 0−\displaystyle -0\displaystyle 0+\displaystyle +
F(x)\displaystyle F(x)−28e−10−160+k\displaystyle -28e^{-10}-160+k↗\displaystyle \nearrow−8+k\displaystyle -8+k↘\displaystyle \searrow9−2e3+k\displaystyle 9-2e^3+k↗\displaystyle \nearrow12e10−40+k\displaystyle 12e^{10}-40+k
+10점 · 8<k<2e3−9\displaystyle 8<k<2e^3-9임을 제시

F(x)\displaystyle F(x)는 (−10,0)\displaystyle (-10,0)에서 증가, (0,3)\displaystyle (0,3)에서 감소, (3,10)\displaystyle (3,10)에서 다시 증가하므로F(−10)<0\displaystyle F(-10)<0, F(0)>0,F(3)<0\displaystyle F(0)>0,F(3)<0, F(10)>0\displaystyle F(10)>0이면 F(x)=0\displaystyle F(x)=0은 (−10,10)\displaystyle (-10,10)에서 세 근을 갖는다.즉, −28e−10−160+k<0\displaystyle -28e^{-10}-160+k<0, −8+k>0,9−2e3+k<0\displaystyle -8+k>0,9-2e^3+k<0, 12e10−40+k>0\displaystyle 12e^{10}-40+k>0로부터8<k<2e3−9\displaystyle 8<k<2e^3-9를 얻는다.

+5점 · f(x)=0\displaystyle f(x)=0인 x\displaystyle x에서 h(x)=0\displaystyle h(x)=0임을 제시

[논제 2] f(x)=0\displaystyle f(x)=0인 x\displaystyle x에 대하여 h(x)=lim⁡n→∞(1−nn+1)=0\displaystyle h(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac n{n+1}\right)=0이고,

+10점 · h(x)\displaystyle h(x)를 구체적으로 제시

f(x)≠0\displaystyle f(x)\ne0인 x\displaystyle x에 대하여h(x)=lim⁡n→∞(∣nf(x)−1∣−n∣f(x)+1n+1∣)=lim⁡n→∞n(∣f(x)−1n∣−∣f(x)+1n+1∣)=lim⁡n→∞n(∣f(x)−1n∣2−∣f(x)+1n+1∣2)∣f(x)−1n∣+∣f(x)+1n+1∣=lim⁡n→∞−2f(x)+1n−2f(x)nn+1−n(n+1)2∣f(x)−1n∣+∣f(x)+1n+1∣=−2f(x)∣f(x)∣={−2,(f(x)>0)2,(f(x)<0)\displaystyle \begin{aligned}h(x)&=\lim_{n\to\infty}\left(|nf(x)-1|-n\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|\right)\\&=\lim_{n\to\infty}n\left(\left|f(x)-\frac1n\right|-\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n\left(\left|f(x)-\frac1n\right|^2-\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|^2\right)}{\left|f(x)-\frac1n\right|+\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{-2f(x)+\frac1n-2f(x)\frac n{n+1}-\frac n{(n+1)^2}}{\left|f(x)-\frac1n\right|+\left|f(x)+\frac1{n+1}\right|}\\&=-2\frac{f(x)}{|f(x)|}=\begin{cases}-2,&(f(x)>0)\\2,&(f(x)<0)\end{cases}\end{aligned}

+5점 · h(x)\displaystyle h(x)의 불연속인 점 x=4\displaystyle x=4를 제시

이다. 따라서 h(x)={−2,(x>4)0,(x=4)2,(x<4)\displaystyle h(x)=\begin{cases}-2,&(x>4)\\0,&(x=4)\\2,&(x<4)\end{cases}이므로 함수 h(x)\displaystyle h(x)가 불연속인 x\displaystyle x의 값은 x=4\displaystyle x=4이다.

+5점 · ∑k=1n1xk−1xk(xk−xk−1)=1−1a\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac1{x_{k-1}x_k}(x_k-x_{k-1})=1-\frac1a임을 제시

[논제 3]∑k=1nxk2−xk−12xk−1xk2=∑k=1n(1xk−1xk+1xk2)(xk−xk−1)=∑k=1n(1xk−1−1xk)+∑k=1n1xk2(xk−xk−1)=(1−1a)+∑k=1n1xk2(xk−xk−1)\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n\frac{x_k^2-x_{k-1}^2}{x_{k-1}x_k^2}&=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{x_{k-1}x_k}+\frac1{x_k^2}\right)(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{x_{k-1}}-\frac1{x_k}\right)+\sum_{k=1}^n\frac1{x_k^2}(x_k-x_{k-1})\\&=\left(1-\frac1a\right)+\sum_{k=1}^n\frac1{x_k^2}(x_k-x_{k-1})\end{aligned}

+5점 · p(a)=1−1a\displaystyle p(a)=1-\frac1a임을 제시

로부터lim⁡n→∞∑k=1n(xk2−xk−122xk−1xk2)=12(1−1a)+12lim⁡n→∞∑k=1n1xk2(xk−xk−1)=12(1−1a)+12∫1a1x2 dx=1−1a\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{x_k^2-x_{k-1}^2}{2x_{k-1}x_k^2}\right)&=\frac12\left(1-\frac1a\right)+\frac12\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{x_k^2}(x_k-x_{k-1})\\&=\frac12\left(1-\frac1a\right)+\frac12\int_1^a\frac1{x^2}\,dx=1-\frac1a\end{aligned}

+10점 · ∫ep(x)x3 dx=(1+1x)e1−1x+C\displaystyle \int\frac{e^{p(x)}}{x^3}\,dx=\left(1+\frac1x\right)e^{1-\frac1x}+C임을 제시

이므로 p(a)=1−1a\displaystyle p(a)=1-\frac1a이다. 따라서∫ep(x)x3 dx=∫e1−1xx21x dx=e1−1x1x−∫e1−1x(−1x2) dx=(1+1x)e1−1x+C\displaystyle \begin{aligned}\int\frac{e^{p(x)}}{x^3}\,dx&=\int\frac{e^{1-\frac1x}}{x^2}\frac1x\,dx\\&=e^{1-\frac1x}\frac1x-\int e^{1-\frac1x}\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\&=\left(1+\frac1x\right)e^{1-\frac1x}+C\end{aligned}(C\displaystyle C는 적분상수)이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.