자연계열 2번

[논제 1] 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수는$\displaystyle f^{\prime}(x)=ae^{ax}\tan bx+be^{ax}\sec^2bx$이다. 한편 $\displaystyle \sec^2bx=1+\tan^2bx$이므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=e^{ax}(b\tan^2bx+a\tan bx+b)$

이다. 여기서 $\displaystyle e^{ax}>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이려면 $\displaystyle b\tan^2bx+a\tan bx+b=0$이어야 한다.또한, 열린 구간 $\displaystyle \left(-\frac\pi{2b},\frac\pi{2b}\right)$에서 $\displaystyle \tan bx$는 일대일 대응이므로 $\displaystyle \tan bx=u$로 치환하여$\displaystyle bu^2+au+b=0$ … ①을 얻는다. 판별식을 사용하면 $\displaystyle a^2>4b^2$인 경우에만 ①은 서로 다른 두 실근을 갖고 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$도 서로 다른 두 실근을 갖는다. 그리고 $\displaystyle a,b$가 자연수이므로 $\displaystyle a>2b$일 때만 함수 $\displaystyle f(x)$는 극값을 갖는다.

$\displaystyle a>2b$를 만족시키는 한 자리 자연수의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는$\displaystyle (3,1),(4,1)\cdots,(9,1)$ ―― $\displaystyle 7$개$\displaystyle (5,2),(6,2),\cdots,(9,2)$ ―― $\displaystyle 5$개$\displaystyle (7,3),(8,3),(9,3)$ ―― $\displaystyle 3$개$\displaystyle (9,4)$ ―― $\displaystyle 1$개이므로 구하려는 개수는 $\displaystyle 16$이다.

[논제 2] 곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 한 점 $\displaystyle \mathrm{A}(t,f(t))$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle l:y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$이므로 접선 $\displaystyle l$의 $\displaystyle y$절편을 $\displaystyle h(t)$라 하면 $\displaystyle h(t)=f(t)-tf^{\prime}(t)$이다. 조건 (1)로부터 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이므로 $\displaystyle f(t)>h(t)$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12t(f(t)-h(t))$이므로 조건 (2)로부터$\displaystyle \frac12t(f(t)-h(t))=\frac{t^2}2(e^t+2e^{-2t}+k)$이다. 그러므로$\displaystyle f^{\prime}(t)=e^t+2e^{-2t}+k$

이고 이를 적분하면 $\displaystyle f(t)=e^t-e^{-2t}+kt+R$ ($\displaystyle R$는 적분상수)이다. 조건 (3)의 $\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{f(t)}{\sin t}=5$로부터$\displaystyle \lim_{t\to0^+}f(t)=0$이므로 $\displaystyle R=0$이다. 또한$\displaystyle \begin{aligned}5&=\lim_{t\to0^+}\frac{f(t)}{\sin t}=\lim_{t\to0^+}\frac{e^t-e^{-2t}+kt}{\sin t}\\&=\lim_{t\to0^+}\frac{\frac{e^t-1}t}{\frac{\sin t}t}+2\lim_{t\to0^+}\frac{\frac{e^{-2t}-1}{-2t}}{\frac{\sin t}t}+k\lim_{t\to0^+}\frac t{\sin t}\\&=3+k\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle k=2$이다. 양의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{B}(0,f(t)-tf^{\prime}(t))$이고 $\displaystyle \mathrm{D}\left(t-\frac{f(t)}{f^{\prime}(t)},0\right)$이다. 조건 (1)로부터접선 $\displaystyle l$의 $\displaystyle x$절편과 $\displaystyle y$절편의 부호는 다르므로$\displaystyle F(t)=\frac12(tf^{\prime}(t)-f(t))\left(t-\frac{f(t)}{f^{\prime}(t)}\right),\quad G(t)=\frac12\frac{f(t)}{f^{\prime}(t)}f(t)$이다. 따라서 $\displaystyle F(t)-G(t)=\frac12t^2f^{\prime}(t)-tf(t)$이고

$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2(F(t)-G(t))\,dt&=\frac12\int_1^2t^2f^{\prime}(t)\,dt-\int_1^2tf(t)\,dt\\&=\frac12(4f(2)-f(1))-2\int_1^2tf(t)\,dt\end{aligned}$이다. 한편$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2tf(t)\,dt&=\int_1^2te^t\,dt-\int_1^2te^{-2t}\,dt+2\int_1^2t^2\,dt\\&=\Biggl[te^t-e^t\Biggr]_1^2+\Biggl[\frac t2e^{-2t}+\frac14e^{-2t}\Biggr]_1^2+\frac23\Biggl[t^3\Biggr]_1^2\\&=e^2+\frac54e^{-4}-\frac34e^{-2}+\frac{14}3\end{aligned}$이므로$\displaystyle \int_1^2(F(t)-G(t))\,dt=2e^{-2}-\frac92e^{-4}-\frac12e-\frac73$