자연계열 1번

[논제 1]$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^nk^6}{\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}k^2\sum_{k=2n+1}^{4n}k^3}&=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1{n^7}\displaystyle\sum_{k=1}^nk^6}{\left(\dfrac1{n^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}k^2\right)\left(\dfrac1{n^4}\displaystyle\sum_{k=2n+1}^{4n}k^3\right)}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac kn\right)^6}{\left\{\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\left(\dfrac kn\right)^2\right\}\left\{\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=2n+1}^{4n}\left(\dfrac kn\right)^3\right\}}\\&=\frac{\displaystyle\int_0^1x^6\,dx}{\left(\displaystyle\int_0^2x^2\,dx\right)\left(\displaystyle\int_2^4x^3\,dx\right)}\\&=\frac1{1120}\end{aligned}$이다.

[논제 2] 곡선 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x(t),y(t))$가 조건 (2)를 만족시키려면, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{y(t)}{x(t)}$이므로$\displaystyle \frac{y(t)}{x(t)}=\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}$

이다. 이 식에$\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}(t)=e^t(\cos t-\sin t)\\y^{\prime}(t)=-e^t(\sin t+\cos t)\end{cases}$를 대입하여 정리하면$\displaystyle \frac2k\cos t+e^t=0$즉,$\displaystyle k=-2e^{-t}\cos t$ …………… (*)

그러므로 식 (*)을 만족시키는 $\displaystyle t$가 $\displaystyle 3$개, 즉, 조건을 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle 3$개가 되도록 하는 $\displaystyle k$의 값의 범위는$\displaystyle -\sqrt2e^{-\frac74\pi}<k<-2e^{-2\pi}$이다.

[논제 3] $\displaystyle t+s=u$로 치환하면$\displaystyle tf(t)=g(t)-\int_0^1f(t+s)\,ds=g(t)-\int_t^{t+1}f(u)\,du$이다. 양변을 미분하면$\displaystyle f(t)+tf^{\prime}(t)=g^{\prime}(t)-f(t+1)+f(t)$이므로$\displaystyle f(t+1)=g^{\prime}(t)-tf^{\prime}(t)$

이다. 치환적분법에 의하여$\displaystyle \int_1^2tf(t)\,dt=\int_0^1(t+1)f(t+1)\,dt$

이므로$\displaystyle \begin{aligned}&\int_1^2tf(t)\,dt+\int_0^1(t^2f^{\prime}(t)+g(t))\,dt\\&=\int_0^1(t+1)f(t+1)\,dt+\int_0^1t^2f^{\prime}(t)\,dt+\int_0^1g(t)\,dt\\&=\int_0^1(t+1)(g^{\prime}(t)-tf^{\prime}(t))\,dt+\int_0^1t^2f^{\prime}(t)\,dt+\int_0^1g(t)\,dt\\&=\int_0^1(t+1)g^{\prime}(t)\,dt-\int_0^1tf^{\prime}(t)\,dt+\int_0^1g(t)\,dt\\&=\Biggl[(t+1)g(t)\Biggr]_0^1-\int_0^1g(t)\,dt-\Biggl[tf(t)\Biggr]_0^1+\int_0^1f(t)\,dt+\int_0^1g(t)\,dt\\&=2g(1)-f(1)=6\end{aligned}$($\displaystyle \because$조건 (1)에서 $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle \int_0^1f(t)\,dt=g(0)$ )이다.