자연계열 2번

함수 $\displaystyle g(x)$는 미분가능하고$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac34f^{\prime}\left(\frac34x\right)g(x)$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$이려면 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac34x\right)=0$이어야 한다. 또, 함수 $\displaystyle g(x)$가 구간 $\displaystyle (0,6)$에서 정의되므로$\displaystyle 0<\frac34x<\frac92$이고 조건으로부터$\displaystyle \frac34x=\frac13+(m-1)\;(m=1,2,3,4,5)$ 또는 $\displaystyle \frac34x=\frac23+(s-1)\;(s=1,2,3,4)$일 때 $\displaystyle g(x)$는 극값을 갖는다. 또한$\displaystyle g\left(\frac49+\frac{4(m-1)}3\right)=e^{f(\frac13+(m-1))}$$\displaystyle g\left(\frac89+\frac{4(s-1)}3\right)=e^{f(\frac23+(s-1))}$이므로 $\displaystyle g(x)$의 모든 극값의 곱은$\displaystyle T=e^{\left(\sum_{m=1}^5f\left(\frac13+(m-1)\right)+\sum_{s=1}^4f\left(\frac23+(s-1)\right)\right)}$

이다. 그리고$\displaystyle f\left(\frac13\right)=M,\;f\left(\frac43\right)=2+\frac M2,\;f\left(\frac73\right)=3+\frac M4,\;f\left(\frac{10}3\right)=\frac72+\frac M8,\;f\left(\frac{13}3\right)=\frac{15}4+\frac M{16}$이고$\displaystyle f\left(\frac23\right)=\frac M2,\;f\left(\frac53\right)=2+\frac M4,\;f\left(\frac83\right)=3+\frac M8,\;f\left(\frac{11}3\right)=\frac72+\frac M{16}$이다. 따라서$\displaystyle \sum_{m=1}^5f\left(\frac13+(m-1)\right)+\sum_{s=1}^4f\left(\frac23+(s-1)\right)=\frac{83}4+\frac{23M}8=\frac{23M+166}8$에서 $\displaystyle \ln T=\frac{23M+166}8=\frac{189}8$이다. 그러므로 $\displaystyle M=1$이고

$\displaystyle f\left(\frac{16}3\right)-f\left(\frac{11}3\right)=\frac{11}{32}$이다.

[논제 2] $\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)\,dt$라 하면 $\displaystyle F(2)=3$이다. $\displaystyle f(3)=\frac72$이므로 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \int_0^3xf^{\prime}(x)\,dx=3f(3)-\int_0^3f(x)\,dx=\frac{21}2-F(3)$

이다. 또한,$\displaystyle 3=F(2)=F(1)+\frac12F(1)+2=\frac32F(1)+2$이므로 $\displaystyle F(1)=\frac23$이다. 그러므로 조건 (3)에 의하여

$\displaystyle F(3)=\int_0^3f(x)\,dx=\left(1+\frac12+\frac14\right)F(1)+f(1)+f(2)=\frac{37}6$$\displaystyle \left(\text{또는 }F(3)=F(2)+3+\frac14F(1)=3+3+\frac14\times\frac23=\frac{37}6\right)$이다 (그래프 참조). 따라서$\displaystyle \int_0^3xf^{\prime}(x)\,dx=\frac{21}2-\frac{37}6=\frac{13}3$이다.