자연계열 2번

단국대 2020학년도 수시 (오전) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2020su_am/jayeon_2

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (45점)

(가) 평균이 $\displaystyle 0$ 이고 분산이 $\displaystyle 1$ 인 정규분포를 표준정규분포라 하고, 기호로 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$ 과 같이 나타낸다.확률변수 $\displaystyle Z$ 가 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$ 을 따를 때, $\displaystyle Z$ 의 확률밀도함수는 $\displaystyle f(z)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}2}\quad(-\infty<z<\infty)$ 이고, 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 임의의 양수 $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle Z$ 가 $\displaystyle 0$ 이상 $\displaystyle b$ 이하의 값을 가질 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le b)$ 는 오른쪽 그림에서 표시한 부분의 넓이와 같다.

(나) 모집단이 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따를 때, $\displaystyle \overline X$ 는 표본의 크기 $\displaystyle n$ 의 값에 관계없이 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}\left(m,\frac{\sigma^2}n\right)$ 을 따른다.

(다) 확률변수 $\displaystyle X$ 가 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따를 때, 확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-m}\sigma$ 은 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$ 을 따른다.

정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따르는 어떤 모집단에서 크기가 $\displaystyle n$ 인 표본을 임의추출하여구한 표본평균을 $\displaystyle \overline X$ 라 할 때 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\overline X\ge m+\frac1{\sqrt n}\right)=0.0668$ 이라 하자. 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 다음 논제에 답하시오.

$z$	$\mathrm{P}(0\le Z\le z)$
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772
2.5	0.4938
3.0	0.4987

[논제 1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle h(x)=\mathrm{P}(\sqrt n(\overline X-m)\le-x)$ 에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\left|h\left(\frac15-\frac k5\right)-h\left(-\frac k5\right)\right|$ 의 값을 구하시오. [20점]

[논제 2] 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m+2,4\sigma^2)$ 을 따르는 확률변수 $\displaystyle Y$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(\overline X\le m+1)=\mathrm{P}(Y\le m+12)$ 가 성립할 때 $\displaystyle \mathrm{P}(|\overline X-m|\ge a)=0.0124$ 를 만족시키는 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. [25점]

해설강의 준비중

단국대 2020학년도 수시 (오전) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2020su_am/jayeon_2

+7점 ·

\displaystyle \sigma=\frac23

을 제시

[논제 1] 표본평균 $\displaystyle \overline X$ 는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}\left(m,\frac{\sigma^2}n\right)$ 을 따르므로, $\displaystyle Z=\frac{\overline X-m}{\frac\sigma{\sqrt n}}$ 로 표준화하면, $\displaystyle \mathrm{P}\left(\overline X\ge m+\frac1{\sqrt n}\right)=\mathrm{P}\left(\frac{\overline X-m}{\frac\sigma{\sqrt n}}\ge\frac1\sigma\right)=\mathrm{P}\left(Z\ge\frac1\sigma\right)=0.0668$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac1\sigma\right)=0.5-0.0668=0.4332$ 이며 표준정규분포표로부터 $\displaystyle \frac1\sigma=1.5$ , 즉, $\displaystyle \sigma=\frac23$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\left|h\left(\frac15-\frac k5\right)-h\left(-\frac k5\right)\right|=h(-2)-h(0)

임을 제시

그러므로 $\displaystyle h(x)=\mathrm{P}(\sqrt n(\overline X-m)\le-x)=\mathrm{P}\left(\frac{\overline X-m}{\frac\sigma{\sqrt n}}\le-\frac x\sigma\right)=\mathrm{P}\left(Z\le-\frac32x\right)$ 이다. 따라서 $\displaystyle h(x)$ 는 감소함수이므로 $\displaystyle \begin{aligned}&\sum_{k=1}^{10}\left|h\left(\frac15-\frac k5\right)-h\left(-\frac k5\right)\right|\\&=\left(h\left(-\frac15\right)-h(0)\right)+\left(h\left(-\frac25\right)-h\left(-\frac15\right)\right)+\cdots+\left(h(-2)-h\left(-\frac95\right)\right)\\&=h(-2)-h(0)\end{aligned}$

+8점 · 정답을 제시

이다. 그런데 $\displaystyle h(-2)=\mathrm{P}(Z\le3),h(0)=\mathrm{P}(Z\le0)$ 이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\left|h\left(\frac15-\frac k5\right)-h\left(-\frac k5\right)\right|=h(-2)-h(0)=\mathrm{P}(0\le Z\le3)=0.4987$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle n=25

를 제시

[논제 2] $\displaystyle \overline X$ 는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}\left(m,\frac{\sigma^2}n\right)$ , $\displaystyle Y$ 는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m+2,4\sigma^2)$ 을 각각 따르므로, 조건 $\displaystyle \mathrm{P}(\overline X\le m+1)=\mathrm{P}(Y\le m+12)$ 에서 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{\overline X-m}{\frac\sigma{\sqrt n}}\le\frac1{\frac\sigma{\sqrt n}}\right)=\mathrm{P}\left(\frac{Y-m-2}{2\sigma}\le\frac{10}{2\sigma}\right)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}\left(Z\le\frac{\sqrt n}\sigma\right)=\mathrm{P}\left(Z\le\frac5\sigma\right)$

+15점 · 정답을 제시

이므로 $\displaystyle n=25$ 이다. 이로부터 $\displaystyle \mathrm{P}(|\overline X-m|\ge a)=\mathrm{P}\left(\left|\frac{\overline X-m}{\frac\sigma{\sqrt{25}}}\right|\ge\frac a{\frac\sigma{\sqrt{25}}}\right)=\mathrm{P}\left(|Z|\ge\frac{5a}\sigma\right)=0.0124$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}\left(|Z|\le\frac{5a}\sigma\right)=1-0.0124=0.9876$ 이다. $\displaystyle \mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac{5a}\sigma\right)=\frac{0.9876}2=0.4938$ 에서 표준정규분포표로부터 $\displaystyle \frac{5a}\sigma=\frac52$ 이므로 $\displaystyle a=\frac13$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.