자연계열 1번

[논제 1] 시행이 끝날 때까지 갑이 얻은 점수가 $\displaystyle 5$점이 되는 경우는 다음의 $\displaystyle 4$가지가 있다.$\displaystyle \mathrm{oxoxoxoo}$$\displaystyle \mathrm{oxoxoxoxoxx}$$\displaystyle \mathrm{xoxoxoxoo}$$\displaystyle \mathrm{xoxoxoxoxoxx}$

따라서$\displaystyle \begin{aligned}p&=\left(\frac23\right)^5\left(\frac13\right)^3+\left(\frac23\right)^5\left(\frac13\right)^6+\left(\frac23\right)^5\left(\frac13\right)^4+\left(\frac23\right)^5\left(\frac13\right)^7\\&=\frac{2^5(3^4+3^1+3^3+1)}{3^{12}}=\frac{3584}{3^{12}}\end{aligned}$

이다. 그러므로 $\displaystyle 3^{12}\times p=3584$이다.

[논제 2] $\displaystyle p(k)$를 구하기 위해서 $\displaystyle k$가 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나누어 생각한다.(i) $\displaystyle k$가 짝수인 경우는 다음의 $\displaystyle 2$가지가 있다.$\displaystyle \underbrace{\mathrm{oxox}\cdots\mathrm{ox}}_{(k-2)(\text{짝수})\text{개}}\mathrm{oo}$$\displaystyle \underbrace{\mathrm{xoxo}\cdots\mathrm{xo}}_{(k-2)(\text{짝수})\text{개}}\mathrm{xx}$따라서 이 경우는$\displaystyle p(k)=\left(\frac23\right)^{\frac k2+1}\left(\frac13\right)^{\frac k2-1}+\left(\frac23\right)^{\frac k2-1}\left(\frac13\right)^{\frac k2+1}=5\cdot\frac{2^{\frac k2-1}}{3^k}$(ii) $\displaystyle k$가 홀수인 경우는 다음의 $\displaystyle 2$가지가 있다.$\displaystyle \underbrace{\mathrm{oxox}\cdots\mathrm{o}}_{(k-2)(\text{홀수})\text{개}}\mathrm{xx}$$\displaystyle \underbrace{\mathrm{xoxo}\cdots\mathrm{x}}_{(k-2)(\text{홀수})\text{개}}\mathrm{oo}$따라서 이 경우는$\displaystyle p(k)=\left(\frac23\right)^{\frac{k-1}2}\left(\frac13\right)^{\frac{k+1}2}+\left(\frac23\right)^{\frac{k+1}2}\left(\frac13\right)^{\frac{k-1}2}=\frac{2^{\frac{k-1}2}}{3^{k-1}}$

그러므로$\displaystyle \frac{p(k+3)}{p(k)}=\begin{cases}\dfrac4{45},&k:\text{짝수}\\\dfrac{10}{81},&k:\text{홀수}\end{cases}$

따라서$\displaystyle \sum_{k=10}^{16}\frac{p(k+3)}{p(k)}=\frac4{45}\times4+\frac{10}{81}\times3=\frac{98}{135}$이다.

[논제 3] 시행이 $\displaystyle 7$회 이하에서 끝나는 사건을 $\displaystyle A$, 시행이 끝났을 때 갑이 얻은 점수가 $\displaystyle 3$점일 사건을 $\displaystyle B$라고 하면 구하는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}$이다.사건 $\displaystyle A\cap B$, 즉, 시행이 $\displaystyle 7$회 이하에서 끝나고 갑이 얻은 점수가 $\displaystyle 3$점인 경우는 다음의 $\displaystyle 3$가지가 있다.(i) 시행이 $\displaystyle 4$회에서 끝나고 갑이 $\displaystyle 3$점인 경우, 즉, $\displaystyle \mathrm{oxoo}$(ii) 시행이 $\displaystyle 5$회에서 끝나고 갑이 $\displaystyle 3$점인 경우, 즉, $\displaystyle \mathrm{xoxoo}$(iii) 시행이 $\displaystyle 7$회에서 끝나고 갑이 $\displaystyle 3$점인 경우, 즉, $\displaystyle \mathrm{oxoxoxx}$따라서,$\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)+\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)^2+\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)^4=\frac{296}{2187}$

이다. 또한,$\displaystyle \mathrm{P}(A)=1-(\text{시행이 }8\text{회 이상 진행될 확률})$이고, 시행이 $\displaystyle 8$회 이상 진행된다는 것은 $\displaystyle 7$회까지 시행이 끝나지 않는 것을 의미하는데 이 경우는 다음의 $\displaystyle 2$가지가 있다.$\displaystyle \mathrm{xoxoxox}$$\displaystyle \mathrm{oxoxoxo}$따라서$\displaystyle \mathrm{P}(A)=1-\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)^4-\left(\frac23\right)^4\left(\frac13\right)^3=\frac{721}{729}$

이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{\frac{296}{2187}}{\frac{721}{729}}=\frac{296}{2163}$이다.