자연계열 1번

단국대 2021학년도 수시 (오전) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2021su_am/jayeon_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (55점)

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능할 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

(나) 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이고, 극댓값은 $\displaystyle f(a)$ (2) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이고, 극솟값은 $\displaystyle f(a)$

(다) 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(x),g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx$

함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac1{2e}(x+3)&(-3\le x<-1)\\(2x^2-1)e^{-x^2}&(-1\le x<1)\\-\dfrac1{2e}(x-3)&(1\le x\le3)\end{cases}$

$\displaystyle -3\le a\le3$ 에 대하여, 함수 $\displaystyle F(x)$ 는 $\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\qquad(-3\le x\le3)$

[논제 1] $\displaystyle \int_0^1f(t)\,dt$ 의 값을 구하시오. (15점)

[논제 2] $\displaystyle -3\le x\le3$ 에서 곡선 $\displaystyle y=F(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축이 한 점에서 만나도록 하는 $\displaystyle a$ 의 값을 모두 구하시오. (20점)

[논제 3] $\displaystyle g(x)=x-x^2+|x-x^2|$ 에 대하여 $\displaystyle h(x)=16g\left(\frac x4\right)+8g\left(\frac x2-2\right)$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 모두 구하시오. (20점)

각 $\displaystyle t$ 에 대하여, $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle th(x)=xh(t)$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle 3$ 이다.

해설강의 준비중

단국대 2021학년도 수시 (오전) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2021su_am/jayeon_1

+10점 · 적분함수

\displaystyle -xe^{-x^2}

을 제시

+5점 · 정답을 제시

[논제 1] 부분적분법에 의하여 $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1f(t)\,dt&=\int_0^12t^2e^{-t^2}\,dt-\int_0^1e^{-t^2}\,dt\\&=\int_0^1(-t)\cdot(-2te^{-t^2})\,dt-\int_0^1e^{-t^2}\,dt\\&=\Biggl[-te^{-t^2}\Biggr]_0^1+\int_0^1e^{-t^2}\,dt-\int_0^1e^{-t^2}\,dt=-\frac1e\end{aligned}$

+12점 · 적분함수

\displaystyle F(x)

를 제시

[논제 2] $\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\,dt=\int_0^xf(t)\,dt-\int_0^af(t)\,dt$ 이므로 $\displaystyle F_0(x)=\int_0^xf(t)\,dt$ 라 하면 $\displaystyle F(x)=F_0(x)-F_0(a)$ 이다. $\displaystyle F_0(x)$ 는(i) $\displaystyle -3\le x<-1$ 인 경우: $\displaystyle F_0(x)=\int_0^{-1}(2t^2-1)e^{-t^2}\,dt+\int_{-1}^x\frac1{2e}(t+3)\,dt=\frac1{2e}\left(\frac12x^2+3x\right)+\frac9{4e}$ (ii) $\displaystyle -1\le x<1$ 인 경우: $\displaystyle F_0(x)=\int_0^xf(t)\,dt=-xe^{-x^2}$ (iii) $\displaystyle 1\le x\le3$ 인 경우: $\displaystyle F_0(x)=\int_0^1(2t^2-1)e^{-t^2}\,dt+\int_1^x-\frac1{2e}(t-3)\,dt=-\frac1{2e}\left(\frac12x^2-3x\right)-\frac9{4e}$ 함수 $\displaystyle F_0(x)$ 의 증감표를 조사하면

$\displaystyle x$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle -\frac1{\sqrt2}$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle \frac1{\sqrt2}$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle F_0^{\prime}(x)$		$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$
$\displaystyle F_0(x)$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \nearrow$	$\displaystyle \frac1{\sqrt2}e^{-\frac12}$	$\displaystyle \searrow$	$\displaystyle -\frac1{\sqrt2}e^{-\frac12}$	$\displaystyle \nearrow$	$\displaystyle 0$

이므로 함수 $\displaystyle F_0(x)$ 의 그래프의 개형은 다음과 같다.

+8점 · 정답을 제시

곡선 $\displaystyle y=F(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축이 한 점에서 만나는 경우는 곡선 $\displaystyle y=F_0(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=F_0(a)$ 가 한 점에서 만나는 경우와 같다. 따라서 그래프로부터 $\displaystyle a=\frac{\sqrt2}2$ 또는 $\displaystyle a=-\frac{\sqrt2}2$ 이다.

+8점 ·

\displaystyle h(x)

의 그래프 등 관계식을 제시

[논제 3] $\displaystyle x-x^2\ge0$ 이면 $\displaystyle g(x)=2(x-x^2)$ 이고 $\displaystyle x-x^2<0$ 이면 $\displaystyle g(x)=0$ 이므로 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}0&(x<0)\\-2x(x-1)&(0\le x\le1)\\0&(x>1)\end{cases}$ 이다.

이 식으로부터, $\displaystyle 16g\left(\frac x4\right)=\begin{cases}0&(x<0)\\-2x(x-4)&(0\le x\le4)\\0&(x>4)\end{cases}$ …………… (1)이고 $\displaystyle 8g\left(\frac x2-2\right)=\begin{cases}0&(x<4)\\-4(x-4)(x-6)&(4\le x\le6)\\0&(x>6)\end{cases}$ …………… (2)이다.(1)과 (2)에 의하여 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}0&(x<0)\\-2x(x-4)&(0\le x<4)\\-4(x-4)(x-6)&(4\le x\le6)\\0&(x>6)\end{cases}$ 이다. 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여, $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle th(x)=xh(t)$ …………… (3)을 풀면 다음과 같다.(i) $\displaystyle t=0$ 이면 모든 실수 $\displaystyle x$ 가 방정식 (3)을 만족한다.(ii) $\displaystyle t\ne0$ 이면 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle h(x)=\frac{h(t)}t x$ 의 실근의 개수는 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=\frac{h(t)}t x$ 의 교점의 개수와 같다.

+12점 · 정답을 제시

위의 그래프로부터 직선 $\displaystyle y=\frac{h(t)}t x$ 와 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 가 세 점에서 만나는 경우는 구간 $\displaystyle 4\le x\le6$ 에서 직선 $\displaystyle y=\frac{h(t)}t x$ 이 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 의 그래프에 접하는 경우이다. 실제로, 원점을 지나는 직선이 곡선 $\displaystyle y=-4(x-4)(x-6)$ 에 접하는 접점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle x=2\sqrt6$ 이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y=(40-16\sqrt6)x$ 이다. 또한 구간 $\displaystyle 0\le x\le4$ 에서 직선 $\displaystyle y=(40-16\sqrt6)x$ 와 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 가 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle x=0$ 과 $\displaystyle x=8\sqrt6-16$ 이다. 결국 구하고자 하는 $\displaystyle t$ 의 값은 $\displaystyle t=8\sqrt6-16$ 과 $\displaystyle t=2\sqrt6$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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