자연계열 1번

[논제 1] 부분적분법에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1f(t)\,dt&=\int_0^12t^2e^{-t^2}\,dt-\int_0^1e^{-t^2}\,dt\\&=\int_0^1(-t)\cdot(-2te^{-t^2})\,dt-\int_0^1e^{-t^2}\,dt\\&=\Biggl[-te^{-t^2}\Biggr]_0^1+\int_0^1e^{-t^2}\,dt-\int_0^1e^{-t^2}\,dt=-\frac1e\end{aligned}$

[논제 2] $\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\,dt=\int_0^xf(t)\,dt-\int_0^af(t)\,dt$ 이므로 $\displaystyle F_0(x)=\int_0^xf(t)\,dt$라 하면$\displaystyle F(x)=F_0(x)-F_0(a)$이다. $\displaystyle F_0(x)$는(i) $\displaystyle -3\le x<-1$인 경우:$\displaystyle F_0(x)=\int_0^{-1}(2t^2-1)e^{-t^2}\,dt+\int_{-1}^x\frac1{2e}(t+3)\,dt=\frac1{2e}\left(\frac12x^2+3x\right)+\frac9{4e}$(ii) $\displaystyle -1\le x<1$인 경우: $\displaystyle F_0(x)=\int_0^xf(t)\,dt=-xe^{-x^2}$(iii) $\displaystyle 1\le x\le3$인 경우:$\displaystyle F_0(x)=\int_0^1(2t^2-1)e^{-t^2}\,dt+\int_1^x-\frac1{2e}(t-3)\,dt=-\frac1{2e}\left(\frac12x^2-3x\right)-\frac9{4e}$함수 $\displaystyle F_0(x)$의 증감표를 조사하면

곡선 $\displaystyle y=F(x)$와 $\displaystyle x$축이 한 점에서 만나는 경우는 곡선 $\displaystyle y=F_0(x)$와 직선 $\displaystyle y=F_0(a)$가 한 점에서 만나는 경우와 같다. 따라서 그래프로부터 $\displaystyle a=\frac{\sqrt2}2$ 또는 $\displaystyle a=-\frac{\sqrt2}2$이다.

[논제 3] $\displaystyle x-x^2\ge0$이면 $\displaystyle g(x)=2(x-x^2)$이고 $\displaystyle x-x^2<0$이면 $\displaystyle g(x)=0$이므로$\displaystyle g(x)=\begin{cases}0&(x<0)\\-2x(x-1)&(0\le x\le1)\\0&(x>1)\end{cases}$이다.

이 식으로부터,$\displaystyle 16g\left(\frac x4\right)=\begin{cases}0&(x<0)\\-2x(x-4)&(0\le x\le4)\\0&(x>4)\end{cases}$ …………… (1)이고$\displaystyle 8g\left(\frac x2-2\right)=\begin{cases}0&(x<4)\\-4(x-4)(x-6)&(4\le x\le6)\\0&(x>6)\end{cases}$ …………… (2)이다.(1)과 (2)에 의하여$\displaystyle h(x)=\begin{cases}0&(x<0)\\-2x(x-4)&(0\le x<4)\\-4(x-4)(x-6)&(4\le x\le6)\\0&(x>6)\end{cases}$이다. 실수 $\displaystyle t$에 대하여, $\displaystyle x$에 대한 방정식$\displaystyle th(x)=xh(t)$ …………… (3)을 풀면 다음과 같다.(i) $\displaystyle t=0$이면 모든 실수 $\displaystyle x$가 방정식 (3)을 만족한다.(ii) $\displaystyle t\ne0$이면 $\displaystyle x$에 대한 방정식$\displaystyle h(x)=\frac{h(t)}t x$의 실근의 개수는 곡선 $\displaystyle y=h(x)$와 직선 $\displaystyle y=\frac{h(t)}t x$의 교점의 개수와 같다.

위의 그래프로부터 직선 $\displaystyle y=\frac{h(t)}t x$와 곡선 $\displaystyle y=h(x)$가 세 점에서 만나는 경우는 구간 $\displaystyle 4\le x\le6$에서 직선 $\displaystyle y=\frac{h(t)}t x$이 곡선 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프에 접하는 경우이다. 실제로, 원점을 지나는 직선이 곡선 $\displaystyle y=-4(x-4)(x-6)$에 접하는 접점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=2\sqrt6$이므로 접선의 방정식은$\displaystyle y=(40-16\sqrt6)x$이다. 또한 구간 $\displaystyle 0\le x\le4$에서 직선 $\displaystyle y=(40-16\sqrt6)x$와 곡선 $\displaystyle y=h(x)$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=8\sqrt6-16$이다. 결국 구하고자 하는 $\displaystyle t$의 값은$\displaystyle t=8\sqrt6-16$ 과 $\displaystyle t=2\sqrt6$이다.