자연계열 1번

단국대 2021학년도 수시 (오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2021su_pm/jayeon_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (55점)

(가) 두 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$ (단, $\displaystyle \mathrm{P}(A)>0$ , $\displaystyle \mathrm{P}(B)>0$ )

(나) 사건 $\displaystyle B$ 가 일어났을 때 사건 $\displaystyle A$ 의 조건부확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A\mid B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}$ (단, $\displaystyle \mathrm{P}(B)>0$ )

(다) 두 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(A\cap B^c)$

그림과 같은 회로에서 독립적으로 작동하는 스위치 $\displaystyle S_A,S_B,S_C,S_D,S_E$ 가 닫힐 확률이순서대로 $\displaystyle \frac25,\frac25,\frac35,\frac35,p$ 이다.

[논제 1] $\displaystyle p=1$ 일 때, 전구가 켜질 확률을 구하시오. (15점)

[논제 2] $\displaystyle 0\le p<1$ 일 때, 전구가 켜질 확률이 $\displaystyle \frac a{625}p+\frac b{625}$ 이다. 자연수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오. (20점)

[논제 3] 다음 조건을 만족시키는 $\displaystyle p$ 의 최솟값과 최댓값을 구하시오. (20점)

전구가 켜졌을 때, $\displaystyle S_E$ 가 닫혀있을 확률은 $\displaystyle \frac12$ 이상이고전구가 켜졌을 때, $\displaystyle S_E$ 가 닫혀있지 않을 확률은 $\displaystyle \frac13$ 이상이다.

해설강의 준비중

단국대 2021학년도 수시 (오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2021su_pm/jayeon_1

스위치 $\displaystyle S_A,S_B,S_C,S_D,S_E$ 가 닫힐 사건을 순서대로 $\displaystyle A,B,C,D,E$ 라고 하고, 전구에 불이 켜질 사건을 $\displaystyle S$ 라 하자. 각 사건의 확률을 순서대로 $\displaystyle \mathrm{P}(A),\mathrm{P}(B),\mathrm{P}(C),\mathrm{P}(D),\mathrm{P}(E),\mathrm{P}(S)$ 라 하자.

+5점 · 정답의 분모를 제시

+10점 · 정답을 제시

[논제 1] $\displaystyle p=1$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(S\mid E)=\mathrm{P}(S)$ 이고, $\displaystyle \mathrm{P}(S)=[1-\mathrm{P}(A^c)\mathrm{P}(C^c)][1-\mathrm{P}(B^c)\mathrm{P}(D^c)]=\left[1-\frac35\cdot\frac25\right]\left[1-\frac35\cdot\frac25\right]=\frac{19^2}{5^4}=\frac{361}{625}$

(별해) $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S)&=\mathrm{P}((A\cup C)\cap\mathrm{P}(B\cup D))\\&=[\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(C)-\mathrm{P}(A\cap C)][\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(D)-\mathrm{P}(B\cap D)]=\left[\frac25+\frac35-\frac6{25}\right]^2=\frac{361}{625}\end{aligned}$ Correction. 교집합 기호 뒤의 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 불필요하게 들어간 표기이다. $\displaystyle \mathrm{P}((A\cup C)\cap(B\cup D))$ 로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+10점 · 스위치

\displaystyle S_E

가 열렸을 때의 조건부확률을 제시

[논제 2] $\displaystyle S_E$ 가 닫혀있지 않을 때 전구가 켜질 확률 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S\mid E^c)&=1-[1-\mathrm{P}(A\mid B)][1-\mathrm{P}(C\cap D)]\\&=1-\left[1-\frac25\cdot\frac25\right]\left[1-\frac35\cdot\frac35\right]=1-\left(\frac{21}{25}\right)\left(\frac{16}{25}\right)=\frac{289}{625}\end{aligned}$ Correction. $\displaystyle \mathrm{P}(A\mid B)$ 는 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+10점 · 정답을 제시

이고, [논제 1]에서 $\displaystyle \mathrm{P}(S\mid E)=\frac{361}{625}$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S)&=\mathrm{P}(S\cap E)+\mathrm{P}(S\cap E^c)=\mathrm{P}(S\mid E)\mathrm{P}(E)+\mathrm{P}(S\mid E^c)\mathrm{P}(E^c)\\&=\frac{361}{625}p+\frac{289}{625}(1-p)=\frac{72}{625}p+\frac{289}{625}\end{aligned}$ 결국 $\displaystyle a=72$ , $\displaystyle b=289$ 이다.

(별해) $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S\mid E^c)&=\mathrm{P}((A\cap B)\cup(C\cap D))\\&=\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(C\cap D)-\mathrm{P}(A\cap B\cap C\cap D)\\&=\left(\frac25\right)^2+\left(\frac35\right)^2-\left(\frac25\right)^2\left(\frac35\right)^2=\frac{289}{625}\end{aligned}$

+10점 · 조건부확률의 범위를 제시

[논제 3] 주어진 조건으로부터 $\displaystyle \frac12\le\mathrm{P}(E\mid S),\quad\frac13\le\mathrm{P}(E^c\mid S)$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(E\mid S)+\mathrm{P}(E^c\mid S)=1$ 에서 $\displaystyle \frac12\le\mathrm{P}(E\mid S)\le\frac23$ 이고 $\displaystyle \frac12\le\mathrm{P}(E\mid S)=\frac{\mathrm{P}(S\cap E)}{\mathrm{P}(S)}=\frac{\dfrac{361}{625}\cdot p}{\dfrac{361}{625}p+\dfrac{289}{625}(1-p)}\le\frac23$

+10점 · 정답을 제시

이므로 $\displaystyle \frac{289}{650}\le p\le\frac{578}{939}$ 이다. 따라서, $\displaystyle p$ 의 최솟값은 $\displaystyle \frac{289}{650}$ , 최댓값은 $\displaystyle \frac{578}{939}$ 이다.

(별해) $\displaystyle \frac13\le\mathrm{P}(E^c\mid S)\le\frac12$ 을 이용하여 $\displaystyle \frac{289}{650}\le p\le\frac{578}{939}$ 임을 유도할 수 있다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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