자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle p=1$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(S\mid E)=\mathrm{P}(S)$이고,$\displaystyle \mathrm{P}(S)=[1-\mathrm{P}(A^c)\mathrm{P}(C^c)][1-\mathrm{P}(B^c)\mathrm{P}(D^c)]=\left[1-\frac35\cdot\frac25\right]\left[1-\frac35\cdot\frac25\right]=\frac{19^2}{5^4}=\frac{361}{625}$

[논제 2] $\displaystyle S_E$가 닫혀있지 않을 때 전구가 켜질 확률$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S\mid E^c)&=1-[1-\mathrm{P}(A\mid B)][1-\mathrm{P}(C\cap D)]\\&=1-\left[1-\frac25\cdot\frac25\right]\left[1-\frac35\cdot\frac35\right]=1-\left(\frac{21}{25}\right)\left(\frac{16}{25}\right)=\frac{289}{625}\end{aligned}$Correction. $\displaystyle \mathrm{P}(A\mid B)$는 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이고, [논제 1]에서 $\displaystyle \mathrm{P}(S\mid E)=\frac{361}{625}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S)&=\mathrm{P}(S\cap E)+\mathrm{P}(S\cap E^c)=\mathrm{P}(S\mid E)\mathrm{P}(E)+\mathrm{P}(S\mid E^c)\mathrm{P}(E^c)\\&=\frac{361}{625}p+\frac{289}{625}(1-p)=\frac{72}{625}p+\frac{289}{625}\end{aligned}$결국 $\displaystyle a=72$, $\displaystyle b=289$ 이다.

[논제 3] 주어진 조건으로부터$\displaystyle \frac12\le\mathrm{P}(E\mid S),\quad\frac13\le\mathrm{P}(E^c\mid S)$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(E\mid S)+\mathrm{P}(E^c\mid S)=1$에서$\displaystyle \frac12\le\mathrm{P}(E\mid S)\le\frac23$이고$\displaystyle \frac12\le\mathrm{P}(E\mid S)=\frac{\mathrm{P}(S\cap E)}{\mathrm{P}(S)}=\frac{\dfrac{361}{625}\cdot p}{\dfrac{361}{625}p+\dfrac{289}{625}(1-p)}\le\frac23$

이므로 $\displaystyle \frac{289}{650}\le p\le\frac{578}{939}$이다. 따라서, $\displaystyle p$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{289}{650}$, 최댓값은 $\displaystyle \frac{578}{939}$ 이다.