자연계열 2번

단국대 2021학년도 수시 (오전) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2021su_am/jayeon_2

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (45점)

(가) $\displaystyle n$ 개 중에서 같은 것이 각각 $\displaystyle a$ 개, $\displaystyle b$ 개씩 있을 때, $\displaystyle n$ 개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{n!}{a!b!}$ (단, $\displaystyle n=a+b$ )

(나) 두 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$ (단, $\displaystyle \mathrm{P}(A)>0$ , $\displaystyle \mathrm{P}(B)>0$ )

(다) 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$ 의 증감을 파악하기 위하여 확률의 비 또는 차를 이용할 수 있다.

[그림 1]과 같이 $\displaystyle k$ 번째 행에는 $\displaystyle k$ 개의 분기점이 있는 삼각형 모양의 배열이 있다. ( $\displaystyle k=1,2,\;\cdots\;,101$ )

공은 다음 규칙에 따라 아래로 이동한다.

(1) 공은 $\displaystyle k$ 번째 행에서 화살표 방향을 따라 바로 아래의 $\displaystyle k+1$ 번째 행의 가장 가까운 두 분기점 중 한 곳으로 이동한다 ([그림 2]).

(2) 각 분기점에서 공이 바로 아래 행의 왼쪽 분기점으로 이동할 확률 $\displaystyle p=\frac15$ 이고,바로 아래 행의 오른쪽 분기점으로 이동할 확률 $\displaystyle q=\frac45$ 이다.

(3) 한 분기점에서 공의 이동 방향은 이전 분기점에서의 이동 방향에 영향을 받지 않는다.

공이 마지막으로 $\displaystyle 101$ 번째 행에 도착하였을 때, $\displaystyle 101$ 번째 행의 분기점들에 왼쪽부터 차례로 $\displaystyle 0,1,2,\cdots,100$ 의 순번을 부여하였다. 공이 도착한 분기점의 번호를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 하고, 공이 $\displaystyle 1$ 행에서 출발하여 위의 규칙을 통하여 $\displaystyle 101$ 번째 행의 $\displaystyle x$ 번 분기점에 도착할 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$ 라 하자.

[논제 1] $\displaystyle \frac{\mathrm{P}(X=87)}{\mathrm{P}(X=88)}$ 을 구하시오. (20점)

[논제 2] $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 최댓값을 가질 때 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

단국대 2021학년도 수시 (오전) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2021su_am/jayeon_2

+15점 · 공이

\displaystyle 87

번과

\displaystyle 88

번 분기점에 도착하는 확률을 제시

[논제 1] 공이 $\displaystyle 87$ 번 분기점에 도착하는 사건이 발생하려면 $\displaystyle 100$ 번 중 $\displaystyle 87$ 번은 오른쪽으로, $\displaystyle 13$ 번은 왼쪽으로 이동하여야 한다. 공의 이동은 규칙 (3)에 의해 독립시행이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(X=87)={}_{100}\mathrm{C}_{87}\left(\frac15\right)^{13}\left(\frac45\right)^{87}=\frac{100!}{13!87!}\left(\frac15\right)^{13}\left(\frac45\right)^{87}$ 이고 $\displaystyle \mathrm{P}(X=88)={}_{100}\mathrm{C}_{88}\left(\frac15\right)^{12}\left(\frac45\right)^{88}=\frac{100!}{12!88!}\left(\frac15\right)^{12}\left(\frac45\right)^{88}$

+5점 · 정답을 제시

이므로 정답은 $\displaystyle \frac{\mathrm{P}(X=87)}{\mathrm{P}(X=88)}=\frac{22}{13}$ 이다.

+7점 ·

\displaystyle \mathrm{P}(X=x)

와

\displaystyle \mathrm{P}(X=x+1)

의 비 또는 차를 제시

[논제 2] 공이 $\displaystyle 101$ 번째 행의 $\displaystyle x$ 번 분기점에 도착할 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)=\frac{100!}{x!(100-x)!}\left(\frac15\right)^{100-x}\left(\frac45\right)^x$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\frac{\mathrm{P}(X=x+1)}{\mathrm{P}(X=x)}&=\frac{\dfrac{100!}{(x+1)!(100-x-1)!}\left(\dfrac15\right)^{100-x-1}\left(\dfrac45\right)^{x+1}}{\dfrac{100!}{x!(100-x)!}\left(\dfrac15\right)^{100-x}\left(\dfrac45\right)^x}\\&=\frac{4(100-x)}{x+1}\end{aligned}$ …………… (*)

+8점 · 부등식

\displaystyle \frac{4(100-x)}{x+1}>1

의 풀이 과정을 제시

이다. (*)이 $\displaystyle 1$ 보다 클 필요충분조건은 $\displaystyle 399>5x$ 이므로 $\displaystyle x\le79$ 일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x+1)>\mathrm{P}(X=x)$ 이고 $\displaystyle x\ge80$ 일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x+1)<\mathrm{P}(X=x)$

+10점 · 정답을 제시

이다. 즉, $\displaystyle x\le80$ 일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$ 는 증가하고 $\displaystyle x\ge80$ 일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$ 는 감소한다.그러므로 구하고자 하는 $\displaystyle a$ 의 값은 $\displaystyle 80$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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