자연계열 2번

[논제 1] 공이 $\displaystyle 87$번 분기점에 도착하는 사건이 발생하려면 $\displaystyle 100$번 중 $\displaystyle 87$번은 오른쪽으로, $\displaystyle 13$번은 왼쪽으로 이동하여야 한다. 공의 이동은 규칙 (3)에 의해 독립시행이므로$\displaystyle \mathrm{P}(X=87)={}_{100}\mathrm{C}_{87}\left(\frac15\right)^{13}\left(\frac45\right)^{87}=\frac{100!}{13!87!}\left(\frac15\right)^{13}\left(\frac45\right)^{87}$이고$\displaystyle \mathrm{P}(X=88)={}_{100}\mathrm{C}_{88}\left(\frac15\right)^{12}\left(\frac45\right)^{88}=\frac{100!}{12!88!}\left(\frac15\right)^{12}\left(\frac45\right)^{88}$

이므로 정답은$\displaystyle \frac{\mathrm{P}(X=87)}{\mathrm{P}(X=88)}=\frac{22}{13}$이다.

[논제 2] 공이 $\displaystyle 101$번째 행의 $\displaystyle x$번 분기점에 도착할 확률$\displaystyle \mathrm{P}(X=x)=\frac{100!}{x!(100-x)!}\left(\frac15\right)^{100-x}\left(\frac45\right)^x$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\frac{\mathrm{P}(X=x+1)}{\mathrm{P}(X=x)}&=\frac{\dfrac{100!}{(x+1)!(100-x-1)!}\left(\dfrac15\right)^{100-x-1}\left(\dfrac45\right)^{x+1}}{\dfrac{100!}{x!(100-x)!}\left(\dfrac15\right)^{100-x}\left(\dfrac45\right)^x}\\&=\frac{4(100-x)}{x+1}\end{aligned}$ …………… (*)

이다. (*)이 $\displaystyle 1$보다 클 필요충분조건은$\displaystyle 399>5x$이므로$\displaystyle x\le79$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x+1)>\mathrm{P}(X=x)$이고$\displaystyle x\ge80$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x+1)<\mathrm{P}(X=x)$

이다. 즉, $\displaystyle x\le80$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$는 증가하고 $\displaystyle x\ge80$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$는 감소한다.그러므로 구하고자 하는 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle 80$이다.