자연계열 2번

[논제 1] (**)로 부터$\displaystyle \begin{aligned}A(1)&=\int_0^1f(s)\,ds-\int_0^{f(1)}g(s)\,ds+\frac12((f(1))^2-1)\\&=\int_0^1f(s)\,ds-\int_0^{f(1)}g(s)\,ds+\frac32\end{aligned}$ …………… (1.1)이다. 이제 $\displaystyle \int_0^1f(s)\,ds$와 $\displaystyle \int_0^{f(1)}g(s)\,ds$를 계산하자. 먼저 $\displaystyle g(2)=1$이므로 부분적분법에 의하여$\displaystyle 1=\int_0^2sg^{\prime}(s)\,ds=2g(2)-\int_0^2g(s)\,ds=2-\int_0^2g(s)\,ds$즉$\displaystyle \int_0^{f(1)}g(s)\,ds=\int_0^2g(s)\,ds=1$ …………… (1.2)이다. 또한 (***)로 부터$\displaystyle 1=\int_0^{f(1)}g(s)\,ds=f(1)-\int_0^1f(u)\,du$이고 $\displaystyle f(1)=2$이므로$\displaystyle \int_0^1f(u)\,du=1$ …………… (1.3)

이다. (1.2)와 (1.3)를 (1.1)에 대입하면 $\displaystyle A(1)=\frac32$이다.

[논제 2] $\displaystyle h(x)$의 최고차항의 계수를 $\displaystyle a$라 하자. 삼차함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=1,2$에서 극값을 가지므로$\displaystyle h^{\prime}(x)=3a(x-1)(x-2)=3a(x^2-3x+2)$양변을 적분하면$\displaystyle h(x)=3a\left(\frac13x^3-\frac32x^2+2x\right)+C$ ($\displaystyle C$는 적분상수)이다. 조건 (4)에서 $\displaystyle h(x)$의 두 개의 극값 중 하나는 $\displaystyle 0$이므로$\displaystyle h(1)=\frac52a+C=0$ 또는 $\displaystyle h(2)=2a+C=0$ …………… (2.1)이다. 조건 (5)로부터$\displaystyle \frac32=\int_0^3h(x)\,dx=\int_0^3\left(ax^3-\frac92ax^2+6ax+C\right)\,dx=\frac{27}4a+3C$이고 (2.1)에 대입하면 $\displaystyle a=2,-2$이다. $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle a=2$이다. 따라서,$\displaystyle h(x)=2x^3-9x^2+12x-4$

이다. 문제의 조건 $\displaystyle A(2)=2\int_0^2f(s)\,ds-\frac72$과 (**)로 부터$\displaystyle \int_0^2f(s)\,ds-\int_0^{f(2)}g(s)\,ds+\frac12((f(2))^2-4)=2\int_0^2f(s)\,ds-\frac72$이다. 여기서 (***)로 부터 $\displaystyle \int_0^{f(2)}g(s)\,ds=2f(2)-\int_0^2f(s)\,ds$이므로$\displaystyle 2\int_0^2f(s)\,ds-2f(2)+\frac12((f(2))^2-4)=2\int_0^2f(s)\,ds-\frac72$에서 $\displaystyle f(2)=1,3$를 얻는다. 그런데, (*)에 의하여 $\displaystyle f(2)=3$ 이고, 즉, $\displaystyle g(3)=2$이다.그러므로 $\displaystyle \{g(x)\mid0\le x\le3\}=[0,2]$이다.

아래 그림과 같이 $\displaystyle 0\le t\le2$에서 방정식 $\displaystyle h(t)=\frac12$의 해는 $\displaystyle 2$개이고 $\displaystyle g:[0,3]\to[0,2]$는일대일대응이므로 $\displaystyle 0\le x\le3$에서 곡선 $\displaystyle y=h(g(x))$와 직선 $\displaystyle y=\frac12$의 교점의 개수는 $\displaystyle 2$이다.