자연계열 2번

단국대 2021학년도 수시 (오후) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2021su_pm/jayeon_2

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (45점)

(가) 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대, $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이다.

(나) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$ 가닫힌구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$ 에서 연속이고, $\displaystyle a=g(\alpha)$ , $\displaystyle b=g(\beta)$ 이면 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$

(다) 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(x),g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx$

∙ 음이 아닌 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 다음 (1), (2)를 만족시킨다.(1) $\displaystyle f(0)=0$ (2) $\displaystyle x>0$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>1$ ∙ 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle f(x)$ 의 역함수이다.∙ 함수 $\displaystyle h(x)$ 는 다음 (3), (4), (5)를 만족시킨다.(3) 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수(4) $\displaystyle x=1,2$ 에서 극값을 갖고 $\displaystyle h(1)h(2)=0$ (5) $\displaystyle \int_0^3h(x)\,dx=\frac32$

$\displaystyle t>0$ 에 대하여, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 그리고 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}(t,f(t))$ 와 $\displaystyle \mathrm{Q}(f(t),t)$ 를 잇는 직선으로둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle A(t)$ 라고 하자.

[논제 1] $\displaystyle f(1)=2$ 이고 $\displaystyle \int_0^2xg^{\prime}(x)\,dx=1$ 일 때, $\displaystyle A(1)$ 의 값을 구하시오. (20점)

[논제 2] $\displaystyle A(2)=2\int_0^2f(x)\,dx-\frac72$ 일 때, $\displaystyle 0\le x\le3$ 에서 곡선 $\displaystyle y=h(g(x))$ 와 직선 $\displaystyle y=\frac12$ 의 교점의 개수를 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

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조건 (2)에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 증가함수이고, $\displaystyle k(x)=x-f(x)$ 라고 하면 $\displaystyle k^{\prime}(x)=1-f^{\prime}(x)<0$ 이므로 $\displaystyle k(x)$ 는 감소함수이다.따라서 $\displaystyle x>0$ 에서 $\displaystyle x<f(x)$ …………… (*)이다.곡선 $\displaystyle y=f(x),y=g(x),y=x$ 의 위치는 오른쪽 그림과 같다.

두 점 $\displaystyle \mathrm{P}(t,f(t))$ 와 $\displaystyle \mathrm{Q}(f(t),t)$ 를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle \ell(x)=-x+t+f(t)$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}A(t)&=\int_0^t(f(s)-g(s))\,ds+\int_t^{f(t)}(\ell(s)-g(s))\,ds\\&=\int_0^tf(s)\,ds-\int_0^{f(t)}g(s)\,ds-\frac12((f(t))^2-t^2)+tf(t)-t^2+(f(t))^2-tf(t)\\&=\int_0^tf(s)\,ds-\int_0^{f(t)}g(s)\,ds+\frac12((f(t))^2-t^2)\end{aligned}$ …………… (**)

이다. 또한 $\displaystyle u=g(s)$ 라 치환하면 $\displaystyle ds=f^{\prime}(u)du$ 이고 부분적분법에 의하여 $\displaystyle \int_0^{f(t)}g(s)\,ds=\int_0^tuf^{\prime}(u)\,du=tf(t)-\int_0^tf(u)\,du$ …………… (***)이다.

+10점 ·

\displaystyle \int_0^2g(s)\,ds=1

임을 제시 또는

\displaystyle \int_0^1f(s)\,ds=1

임을 제시

[논제 1] (**)로 부터 $\displaystyle \begin{aligned}A(1)&=\int_0^1f(s)\,ds-\int_0^{f(1)}g(s)\,ds+\frac12((f(1))^2-1)\\&=\int_0^1f(s)\,ds-\int_0^{f(1)}g(s)\,ds+\frac32\end{aligned}$ …………… (1.1)이다. 이제 $\displaystyle \int_0^1f(s)\,ds$ 와 $\displaystyle \int_0^{f(1)}g(s)\,ds$ 를 계산하자. 먼저 $\displaystyle g(2)=1$ 이므로 부분적분법에 의하여 $\displaystyle 1=\int_0^2sg^{\prime}(s)\,ds=2g(2)-\int_0^2g(s)\,ds=2-\int_0^2g(s)\,ds$ 즉 $\displaystyle \int_0^{f(1)}g(s)\,ds=\int_0^2g(s)\,ds=1$ …………… (1.2)이다. 또한 (***)로 부터 $\displaystyle 1=\int_0^{f(1)}g(s)\,ds=f(1)-\int_0^1f(u)\,du$ 이고 $\displaystyle f(1)=2$ 이므로 $\displaystyle \int_0^1f(u)\,du=1$ …………… (1.3)

+10점 · 정답을 제시

이다. (1.2)와 (1.3)를 (1.1)에 대입하면 $\displaystyle A(1)=\frac32$ 이다.

(별해) $\displaystyle \int_0^2g(s)\,ds=1$ 이고 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 그래프는 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대칭이므로 $\displaystyle \begin{aligned}A(1)&=(\text{사각형의 넓이})-2\int_0^2g(s)\,ds-(\text{삼각형의 넓이})\\&=4-2-\frac12=\frac32\end{aligned}$

+10점 ·

\displaystyle h(x)

를 제시

[논제 2] $\displaystyle h(x)$ 의 최고차항의 계수를 $\displaystyle a$ 라 하자. 삼차함수 $\displaystyle h(x)$ 가 $\displaystyle x=1,2$ 에서 극값을 가지므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)=3a(x-1)(x-2)=3a(x^2-3x+2)$ 양변을 적분하면 $\displaystyle h(x)=3a\left(\frac13x^3-\frac32x^2+2x\right)+C$ ( $\displaystyle C$ 는 적분상수)이다. 조건 (4)에서 $\displaystyle h(x)$ 의 두 개의 극값 중 하나는 $\displaystyle 0$ 이므로 $\displaystyle h(1)=\frac52a+C=0$ 또는 $\displaystyle h(2)=2a+C=0$ …………… (2.1)이다. 조건 (5)로부터 $\displaystyle \frac32=\int_0^3h(x)\,dx=\int_0^3\left(ax^3-\frac92ax^2+6ax+C\right)\,dx=\frac{27}4a+3C$ 이고 (2.1)에 대입하면 $\displaystyle a=2,-2$ 이다. $\displaystyle a>0$ 이므로 $\displaystyle a=2$ 이다. 따라서, $\displaystyle h(x)=2x^3-9x^2+12x-4$

+10점 ·

\displaystyle g(3)=2

를 제시

이다. 문제의 조건 $\displaystyle A(2)=2\int_0^2f(s)\,ds-\frac72$ 과 (**)로 부터 $\displaystyle \int_0^2f(s)\,ds-\int_0^{f(2)}g(s)\,ds+\frac12((f(2))^2-4)=2\int_0^2f(s)\,ds-\frac72$ 이다. 여기서 (***)로 부터 $\displaystyle \int_0^{f(2)}g(s)\,ds=2f(2)-\int_0^2f(s)\,ds$ 이므로 $\displaystyle 2\int_0^2f(s)\,ds-2f(2)+\frac12((f(2))^2-4)=2\int_0^2f(s)\,ds-\frac72$ 에서 $\displaystyle f(2)=1,3$ 를 얻는다. 그런데, (*)에 의하여 $\displaystyle f(2)=3$ 이고, 즉, $\displaystyle g(3)=2$ 이다.그러므로 $\displaystyle \{g(x)\mid0\le x\le3\}=[0,2]$ 이다.

+5점 · 정답을 제시

아래 그림과 같이 $\displaystyle 0\le t\le2$ 에서 방정식 $\displaystyle h(t)=\frac12$ 의 해는 $\displaystyle 2$ 개이고 $\displaystyle g:[0,3]\to[0,2]$ 는일대일대응이므로 $\displaystyle 0\le x\le3$ 에서 곡선 $\displaystyle y=h(g(x))$ 와 직선 $\displaystyle y=\frac12$ 의 교점의 개수는 $\displaystyle 2$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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