자연계열 1번

[논제 1] 주어진 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}(x)=2nxe^{-x}-nx^2e^{-x}=nx(2-x)e^{-x}$이므로 다음과 같은 증가와 감소를 나타내는 표를 얻을 수 있다.

즉, 극솟값은 $\displaystyle f(0)=0$이고 극댓값은 $\displaystyle f(2)=4ne^{-2}$이다.한편, 합성함수 미분법에 따라$\displaystyle g^{\prime}(x)=f^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)$이므로 방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle f^{\prime}(f(x))=0$의 해 또는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 해이다.(i) $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$인 경우 : 위 표로부터 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$이다.

(ii) $\displaystyle f^{\prime}(f(x))=0$인 경우 : $\displaystyle f(x)=0$ 또는 $\displaystyle f(x)=2$이다.(a) $\displaystyle f(x)=0$인 경우 : 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle 0$이 아닌 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 양수이므로,방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=0$ 뿐이다.(b) $\displaystyle f(x)=2$인 경우 : $\displaystyle 4ne^{-2}<2\iff n<\frac{e^2}2=3.645$ ($\displaystyle e=2.7$로 계산)이므로 $\displaystyle n\le3$일 때만 방정식 $\displaystyle f(x)=2$가 음의 해 하나만 가짐을 알 수 있다.

(i)와 (ii)에 의하여 $\displaystyle n=1,2,3$.

[논제 2] 조건 (2)로 부터$\displaystyle h(3^4)=h(3^3)+1=h(3^2)+2=h(3)+3=h(1)+4$이므로$\displaystyle \int_1^{81}h^{\prime}(x)\,dx=h(81)-h(1)=h(3^4)-h(1)=4$

조건 (1)에서 $\displaystyle \int_1^3h(x)\,dx=9$이므로$\displaystyle \int_3^{3^2}h(x)\,dx=\int_3^{3^2}\left\{h\left(\frac x3\right)+1\right\}\,dx=3\int_1^3h(t)\,dt+(3^2-3)=33$$\displaystyle \int_{3^2}^{3^3}h(x)\,dx=\int_{3^2}^{3^3}\left\{h\left(\frac x3\right)+1\right\}\,dx=3\int_3^{3^2}h(t)\,dt+(3^3-3^2)=117$$\displaystyle \int_{3^3}^{3^4}h(x)\,dx=\int_{3^3}^{3^4}\left\{h\left(\frac x3\right)+1\right\}\,dx=3\int_{3^2}^{3^3}h(t)\,dt+(3^4-3^3)=405$

따라서$\displaystyle \begin{aligned}&\int_1^{81}(h(x)+h^{\prime}(x))\,dx\\&=\int_1^{3^4}h(x)\,dx+\int_1^{3^4}h^{\prime}(x)\,dx\\&=\int_1^3h(x)\,dx+\int_3^{3^2}h(x)\,dx+\int_{3^2}^{3^3}h(x)\,dx+\int_{3^3}^{3^4}h(x)\,dx+\int_1^{3^4}h^{\prime}(x)\,dx\\&=9+33+117+405+4\\&=568\end{aligned}$

[논제 3] 조건 (1)에 의하여 $\displaystyle S(b)-S(a)=\int_a^bk(x)\,dx=3S(a)+3$이므로$\displaystyle S(b)=4S(a)+3$ …………… (*)

$\displaystyle S(x)=\int_0^xk(t)\,dt$에서 $\displaystyle S^{\prime}(x)=k(x)$이므로$\displaystyle \int_a^b\frac{S(x)e^{S(x)}}{(S(x)+1)^2}k(x)\,dx=\int_{S(a)}^{S(b)}\frac{ue^u}{(u+1)^2}\,du=\Biggl[\frac{e^u}{u+1}\Biggr]_{S(a)}^{S(b)}=\frac{e^{S(b)}}{S(b)+1}-\frac{e^{S(a)}}{S(a)+1}$이고 (*)을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_a^b\frac{S(x)e^{S(x)}}{(S(x)+1)^2}k(x)\,dx&=\frac{e^{4S(a)+3}}{4(S(a)+1)}-\frac{e^{S(a)}}{S(a)+1}=\frac{e^{4S(a)+3}-4e^{S(a)}}{4(S(a)+1)}\\&=\frac{e^{S(a)}}{4(S(a)+1)}\left(e^{3(S(a)+1)}-4\right)\end{aligned}$(*)과 조건 (2)를 이용하여 다음 방정식을 얻는다.$\displaystyle \frac{e^{S(a)}}{4(S(a)+1)}\left(e^{3(S(a)+1)}-4\right)=\frac{e^{S(a)}}{4(S(a)+1)}\left(e^{6(S(a)+1)}-67e^{3(S(a)+1)}+252\right)$

이로부터$\displaystyle \left(e^{3(S(a)+1)}-4\right)\left(e^{3(S(a)+1)}-64\right)=0$여기에서 $\displaystyle e^{3(S(a)+1)}-4>e^3-4>0$이므로 $\displaystyle e^{3(S(a)+1)}=64$이고$\displaystyle S(a)=2\ln2-1$따라서$\displaystyle S(b)=4S(a)+3=8\ln2-1$