자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle f^{-1}(x)=y$라 하면 $\displaystyle f(p)=1$인 양의 실수 $\displaystyle p$가 존재하여$\displaystyle \lim_{x\to1}\left((f^{-1})^{\prime}(x)\times\left\{\ln\frac{f^{-1}(x)}{f^{-1}(1)}\right\}^2\right)=\lim_{y\to p}\left\{\frac1{f^{\prime}(y)}\times\left(\ln\frac yp\right)^2\right\}=L\ne0$을 만족시킨다. $\displaystyle \lim_{y\to p}\ln\frac yp=0$이므로 주어진 극한이 $\displaystyle 0$이 아닌 값으로 수렴하기 위해서는$\displaystyle \lim_{y\to p}f^{\prime}(y)=f^{\prime}(p)=0$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 역함수를 가지려면 모든 양수 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$이거나 모든 양수 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0$이어야 한다. 그런데 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1x+4x+a$에서 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=\infty$이므로 모든 양수 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$이어야 한다. $\displaystyle f^{\prime}(p)=0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(p)$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 최솟값이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(p)=-\frac1{p^2}+4=0$이므로 $\displaystyle p=\frac12$이다.$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac12\right)=2+2+a=0$이므로 $\displaystyle a=-4$이다.

또한 $\displaystyle f\left(\frac12\right)=\ln\frac12+\frac12-2+b=1$이므로 $\displaystyle b=\frac52+\ln2$이다.

$\displaystyle L=\lim_{y\to\frac12}\left\{\frac1{f^{\prime}(y)}\times\left(\ln\frac yp\right)^2\right\}=\lim_{y\to\frac12}\frac{(\ln y-\ln\frac12)^2}{\frac1y+4y-4}=\lim_{y\to\frac12}\left\{\left(\frac{\ln y-\ln\frac12}{y-\frac12}\right)^2\times\frac y4\right\}=\frac12$이므로 $\displaystyle a+b+L=-1+\ln2$이다.

[논제 2] 조건 (1)에서 $\displaystyle \lim_{x\to2}(x-2)\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}=2$이므로 $\displaystyle g(2)=0$이다. 따라서 $\displaystyle 1\le k\le3$인 자연수 $\displaystyle k$와$\displaystyle p(2)\ne0$인 $\displaystyle (3-k)$차 다항식 $\displaystyle p(x)$에 대하여$\displaystyle g(x)=(x-2)^kp(x)$$\displaystyle g^{\prime}(x)=k(x-2)^{k-1}p(x)+(x-2)^kp^{\prime}(x)$로부터$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to2}\left\{(x-2)\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\right\}&=\lim_{x\to2}\left\{(x-2)\frac{k(x-2)^{k-1}p(x)+(x-2)^kp^{\prime}(x)}{(x-2)^kp(x)}\right\}\\&=\lim_{x\to2}\frac{kp(x)+(x-2)p^{\prime}(x)}{p(x)}\\&=k\end{aligned}$이고 $\displaystyle k=2$이다. 따라서 상수 $\displaystyle r$ ($\displaystyle r\ne-2$)에 대하여$\displaystyle g(x)=(x-2)^2(x+r)$ …………… (*)

그러므로$\displaystyle h(|x|)=\frac{3|x|+2r-2}{|x|+r}=\begin{cases}\frac{3x+2r-2}{x+r},&x\ge0\\\frac{-3x+2r-2}{-x+r},&x<0\end{cases}$이고 조건 (2)에 의하여 $\displaystyle c=r$ ($\displaystyle c<0$) 또는 $\displaystyle c=-r$ ($\displaystyle c>0$)이어야 한다. 따라서 $\displaystyle r<0$이어야 한다. 그런데 $\displaystyle c=-r$이면 $\displaystyle g(c)=0$이 되므로 조건 (3)에 모순이다. 따라서 $\displaystyle c=r$ ($\displaystyle r<0,r\ne-2$)이다.$\displaystyle g(c)=g(r)=(r-2)^2(2r)=18r$로부터 $\displaystyle c=r=-1$이고$\displaystyle g(x)=(x-2)^2(x-1)$

그러므로 $\displaystyle g(2c)=g(-2)=-48$

[논제 3] 함수 $\displaystyle F(t)$를 미분하면,$\displaystyle F^{\prime}(t)=\pi\cos(k^{-1}(\pi t))$ …………… (**)그런데 $\displaystyle k^{\prime}(x)=1+\cos x\ge0$이므로 함수 $\displaystyle k(x)$는 증가함수이고 $\displaystyle k^{-1}(x)$도 증가함수이다. 따라서$\displaystyle t\in(0,8)$이면 $\displaystyle k^{-1}(\pi t)\in(0,8\pi)$이므로 (**)에서$\displaystyle k^{-1}(\pi t)=\frac\pi2,\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2,\frac{7\pi}2,\frac{9\pi}2,\frac{11\pi}2,\frac{13\pi}2,\frac{15\pi}2$ …………… (***)일 때 $\displaystyle F^{\prime}(t)=0$이다. 또한,$\displaystyle F^{\prime\prime}(t)=-\pi\sin(k^{-1}(\pi t))\frac d{dt}k^{-1}(\pi t)$여기에서 $\displaystyle k^{-1}(\pi t)=x$라 하면 $\displaystyle \pi t=k(x)=x+\sin x$, 즉, $\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac1\pi(1+\cos x)$이므로$\displaystyle \frac d{dt}k^{-1}(\pi t)=\frac\pi{1+\cos(k^{-1}(\pi t))}$이다. 따라서$\displaystyle F^{\prime\prime}(t)=-\frac{\pi^2\sin(k^{-1}(\pi t))}{1+\cos(k^{-1}(\pi t))}$여기에서 (***)를 만족시키는 $\displaystyle t$에서는$\displaystyle \cos(k^{-1}(\pi t))=0$$\displaystyle \sin(k^{-1}(\pi t))=\begin{cases}1,&k^{-1}(\pi t)=\frac\pi2,\frac{5\pi}2,\frac{9\pi}2,\frac{13\pi}2\\-1,&k^{-1}(\pi t)=\frac{3\pi}2,\frac{7\pi}2,\frac{11\pi}2,\frac{15\pi}2\end{cases}$여기에서 $\displaystyle k^{-1}(\pi t)=\frac\pi2,\frac{5\pi}2,\frac{9\pi}2,\frac{13\pi}2$이면 $\displaystyle F^{\prime\prime}(t)<0$이므로 함수 $\displaystyle F(t)$는 극댓값을 갖고,$\displaystyle k^{-1}(\pi t)=\frac{3\pi}2,\frac{7\pi}2,\frac{11\pi}2,\frac{15\pi}2$이면 $\displaystyle F^{\prime\prime}(t)>0$이므로 함수 $\displaystyle F(t)$는 극솟값을 갖는다.

그런데 $\displaystyle k^{-1}(\pi t)$는 $\displaystyle t$의 증가함수이므로$\displaystyle \alpha=\frac1\pi k\left(\frac{13\pi}2\right)=\frac{13}2+\frac1\pi,\quad\beta=\frac1\pi k\left(\frac{15\pi}2\right)=\frac{15}2-\frac1\pi$

따라서$\displaystyle F(\beta)-F(\alpha)=F\left(\frac{15}2-\frac1\pi\right)-F\left(\frac{13}2+\frac1\pi\right)=\int_{\frac{13\pi}2+1}^{\frac{15\pi}2-1}\cos(k^{-1}(y))\,dy$여기에서 $\displaystyle k^{-1}(y)=x$로 치환하면 $\displaystyle y=k(x)=x+\sin x$이므로$\displaystyle k\left(\frac{13\pi}2\right)=\frac{13\pi}2+1,\quad k\left(\frac{15\pi}2\right)=\frac{15\pi}2-1,\quad dy=(1+\cos x)dx$에서$\displaystyle F(\beta)-F(\alpha)=\int_{\frac{13\pi}2}^{\frac{15\pi}2}\cos x(1+\cos x)\,dx=\int_{\frac{13\pi}2}^{\frac{15\pi}2}\left(\cos x+\frac{\cos(2x)+1}2\right)\,dx=\frac\pi2-2$