자연계열 2번

실수 $\displaystyle t\ge0$에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2,\mathrm{P}_3,\mathrm{P}_4$의 좌표는$\displaystyle \begin{aligned}&\mathrm{P}_1(-\sin t,2+\cos t)\\&\mathrm{P}_2(-2-\cos t,-\sin t)\\&\mathrm{P}_3(\sin t,-2-\cos t)\\&\mathrm{P}_4(2+\cos t,\sin t)\end{aligned}$ …………… (*)이므로 $\displaystyle (\ell(t))^2=(-2\sin t)^2+(4+2\cos t)^2=20+16\cos t$이다.

그러므로$\displaystyle a=\int_0^{\frac\pi2}((\ell(t))^2-20)^2\,dt=256\int_0^{\frac\pi2}\cos^2t\,dt=128\int_0^{\frac\pi2}(1+\cos2t)\,dt=64\pi$

한편$\displaystyle \overline{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2}=\overline{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3}=\overline{\mathrm{P}_3\mathrm{P}_4}=\overline{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_4}=\sqrt{(-\sin t+2+\cos t)^2+(2+\cos t+\sin t)^2}=\sqrt{10+8\cos t}$이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3\mathrm{P}_4$는 모든 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt{10+8\cos t}$이고 두 대각선은 서로를 수직 이등분한다.또한 마찬가지 방법으로 두 대각선의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_3}=\overline{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_4}=\sqrt{20+16\cos t}$로 같으므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3\mathrm{P}_4$는 정사각형이다. 따라서 $\displaystyle A(t)=10+8\cos t$이고 $\displaystyle A(t)$는 미분가능한 함수이다.

$\displaystyle A^{\prime}(t)=-8\sin t=0$에서 $\displaystyle t=\pi,2\pi,\cdots,63\pi$이다. 각 점의 좌우에서 $\displaystyle A^{\prime}(t)$의 부호가 바뀌므로, $\displaystyle A(t)$의 극값은$\displaystyle A(t)=\begin{cases}18,&t=2\pi,4\pi,\cdots,62\pi\\2,&t=\pi,3\pi,\cdots,63\pi\end{cases}$그러므로 구간 $\displaystyle 0<t<64\pi$에서의 함수 $\displaystyle A(t)$의 모든 극값의 합은 $\displaystyle 18\times31+2\times32=622$이다.

[논제 2] 모든 $\displaystyle 0\le t\le\frac{3\pi}2$에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는$\displaystyle \begin{cases}\mathrm{Q}\left(\frac{3\pi}2,-t\right),&0\le t\le\frac\pi2\\\mathrm{Q}\left(2\pi-t,-\frac\pi2\right),&\frac\pi2\le t\le\pi\\\mathrm{Q}\left(\pi,t-\frac{3\pi}2\right),&\pi\le t\le\frac{3\pi}2\end{cases}$ …………… (**)

그러므로, (*)과 (**)을 이용하면 함수 $\displaystyle f(t)$는$\displaystyle f(t)=\begin{cases}\frac\pi2,&0\le t\le\frac\pi2\\-\frac13t+\frac{2\pi}3,&\frac\pi2\le t\le\pi\\\frac\pi3,&\pi\le t\le\frac{3\pi}2\end{cases}$

따라서,$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{\frac\pi2}^{\frac{3\pi}2}A(t)(f(t))^2\,dt-10\int_0^\pi(f(t))^2\,dt\\&=\int_{\frac\pi2}^\pi A(t)(f(t))^2\,dt+\int_\pi^{\frac{3\pi}2}A(t)(f(t))^2\,dt-10\int_{\frac\pi2}^\pi(f(t))^2\,dt-10\int_0^{\frac\pi2}(f(t))^2\,dt\\&=\int_{\frac\pi2}^\pi A(t)(f(t))^2\,dt-10\int_{\frac\pi2}^\pi(f(t))^2\,dt+\frac{\pi^2}9\int_\pi^{\frac{3\pi}2}(10+8\cos t)\,dt-\frac54\pi^3\end{aligned}$먼저$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{\frac\pi2}^\pi A(t)(f(t))^2\,dt-10\int_{\frac\pi2}^\pi(f(t))^2\,dt\\&=\frac89\int_{\frac\pi2}^\pi(t-2\pi)^2\cos t\,dt\\&=\frac89\int_{\frac\pi2}^\pi(t^2-4\pi t+4\pi^2)\cos t\,dt\end{aligned}$여기서,$\displaystyle \int t^2\cos t\,dt=t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t+c_1,\quad\int t\cos t\,dt=t\sin t+\cos t+c_2$이므로 ($\displaystyle c_1,c_2$는 적분상수)$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{\frac\pi2}^\pi A(t)(f(t))^2\,dt-10\int_{\frac\pi2}^\pi(f(t))^2\,dt\\&=\frac89\Biggl[t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t\Biggr]_{\frac\pi2}^\pi-\frac{32\pi}9\Biggl[t\sin t+\cos t\Biggr]_{\frac\pi2}^\pi+\frac{32\pi^2}9\Biggl[\sin t\Biggr]_{\frac\pi2}^\pi\\&=\frac{16}9+\frac{16}9\pi-2\pi^2\end{aligned}$또한$\displaystyle \frac{\pi^2}9\int_\pi^{\frac{3\pi}2}(10+8\cos t)\,dt=\frac{\pi^2}9\left(5\pi+8\Biggl[\sin t\Biggr]_\pi^{\frac{3\pi}2}\right)=\frac59\pi^3-\frac89\pi^2$그러므로$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{\frac\pi2}^{\frac{3\pi}2}A(t)(f(t))^2\,dt-10\int_0^\pi(f(t))^2\,dt\\&=\frac{16}9+\frac{16}9\pi-2\pi^2+\frac59\pi^3-\frac89\pi^2-\frac54\pi^3\\&=\frac{16}9+\frac{16}9\pi-\frac{26}9\pi^2-\frac{25}{36}\pi^3\end{aligned}$