자연계열 2번

(i) $\displaystyle x\le0$일 때 : $\displaystyle h(x)=e^x-x^2+ex$이고 $\displaystyle h^{\prime}(x)=e^x-2x+e>0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 증가함수이고$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty$, $\displaystyle h(0)=1$이므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle (-\infty,0]$에서 하나의 실근을 갖는다.

(ii) $\displaystyle x\ge e$일 때 : $\displaystyle h(x)=e^x-x^2+ex$이고 $\displaystyle h^{\prime}(x)=e^x-2x+e$이다.$\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=e^x-2$에서 $\displaystyle x\ge e$일 때 $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)$가 증가한다.$\displaystyle h^{\prime}(e)=e^e-e>0$이므로 $\displaystyle x\ge e$일 때 $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$, 즉 $\displaystyle h(x)$가 증가한다.$\displaystyle h(e)=e^e>0$이고 $\displaystyle h(x)$가 증가함수이므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle [e,\infty)$에서 실근을 갖지 않는다.

(iii) $\displaystyle 0<x<e$일 때 : $\displaystyle h(x)=(e^x-ex)+x^2$이다.$\displaystyle e^x-ex$는 $\displaystyle x=1$에서 최솟값 $\displaystyle 0$을 가지므로 $\displaystyle e^x-ex\ge0$이고, $\displaystyle x^2>0$이므로 $\displaystyle h(x)>0$이다. 따라서 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle (0,e)$에서 실근을 갖지 않는다.(i)~(iii)에서 방정식 $\displaystyle h(x)=0$의 실근의 개수는 하나이다.

[논제 2] $\displaystyle y=e^x$ 위의 점 $\displaystyle (u(t),e^{u(t)})$에서 그은 접선의 방정식은 $\displaystyle y=e^{u(t)}(x-u(t))+e^{u(t)}$이고이 직선이 $\displaystyle x$축 위의 점 $\displaystyle (t,0)$을 지나므로 $\displaystyle u(t)=t+1$이다. 조건 (1)에서$\displaystyle \int_t^{u(t)}e^x\,dx=\int_t^{t+1}e^x\,dx=e^t(e-1)=1-\frac1e$이므로 $\displaystyle t=-1$, $\displaystyle u(t)=0$이고 접선 $\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle y=x+1$이다.

$\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ($\displaystyle a>0$)라 할 때 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=x+1$이 점 $\displaystyle (0,1)$에서 접하므로$\displaystyle f(0)=d=1$이고 $\displaystyle f^{\prime}(0)=c=1$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+x+1$이다.

한편, 조건 (2)로부터 $\displaystyle b=-\frac32a$이므로 $\displaystyle f(x)=ax^3-\frac32ax^2+x+1$이다.$\displaystyle e^x=z$라 하면 $\displaystyle z>0$이고, 조건 (3)에서 $\displaystyle y=az^3-\frac32az^2+z+1$과 $\displaystyle y=z$가 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 오직 한 점에서만 만나야 한다. 즉, $\displaystyle y=az^3-\frac32az^2+1$과 $\displaystyle y=0$이 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 오직 한 점에서 만나야 한다.$\displaystyle \lim_{z\to0^+}\left(az^3-\frac32az^2+1\right)=1,\quad\lim_{z\to\infty}\left(az^3-\frac32az^2+1\right)=\infty$이므로 곡선 $\displaystyle y=az^3-\frac32az^2+1$과 직선 $\displaystyle y=0$이 점 $\displaystyle (z_0,0)$에서 접하는 $\displaystyle z_0>0$가 존재한다.따라서 $\displaystyle 3az_0^2-3az_0=0$, $\displaystyle az_0^3-\frac32az_0^2+1=0$이어야 하므로 $\displaystyle z_0=1$이고 $\displaystyle a=2$이다.그러므로 $\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+x+1$이다.

함수 $\displaystyle g(x)=|f(x)-x|=|2x^3-3x^2+1|=|(x-1)^2(2x+1)|$, 즉$\displaystyle g(x)=\begin{cases}(x-1)^2(2x+1),&x\ge-\frac12\\-(x-1)^2(2x+1),&x<-\frac12\end{cases}$따라서 $\displaystyle x\ne-\frac12$일 때는 함수 $\displaystyle g(x)$가 미분가능하다. 그러나$\displaystyle \lim_{\Delta x\to0^-}\frac{g(-\frac12+\Delta x)-g(-\frac12)}{\Delta x}=-\frac92,\quad\lim_{\Delta x\to0^+}\frac{g(-\frac12+\Delta x)-g(-\frac12)}{\Delta x}=\frac92$이므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-\frac12$에서만 미분가능하지 않다.따라서 $\displaystyle p=-\frac12$이다.