자연계열 1번

[논제 1] 조건$\displaystyle (f(x)-3)(f(x)+3)(2f(x)-x^3+a^2x)=0$에서 각각의 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f(x)=3$ 또는 $\displaystyle f(x)=-3$ 또는 $\displaystyle f(x)=\frac12x(x-a)(x+a)$$\displaystyle f_0(x)=\frac12x(x-a)(x+a)$라 하자. 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프가 $\displaystyle x$축과 만나는 점이 $\displaystyle 1$개이고 함수 $\displaystyle f(x)$의 최댓값과 최솟값의 합이 양수이므로1) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-3$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=3$이고 $\displaystyle f_0(x)$의 극댓값이 $\displaystyle 3$보다 크거나2) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=3$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=-3$이고 $\displaystyle f_0(x)$의 극댓값이 $\displaystyle 3$보다 커야 한다.

$\displaystyle f_0(x)$는 극댓값 $\displaystyle f_0\left(-\frac a{\sqrt3}\right)=\frac{\sqrt3}9a^3$을 갖고 위의 1)과 2)에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle f_0(x)$의 극댓값인 $\displaystyle \frac{\sqrt3}9a^3$이다. 이때 함수 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle -3$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt3}9a^3+(-3)=24$이고, $\displaystyle a=3\sqrt3$

[논제 2] 함수 $\displaystyle f(x)$에 따른 $\displaystyle g(k)$의 값을 살펴보면,1) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$일 때 : $\displaystyle \lim_{k\to-\infty}g(k)=\lim_{k\to\infty}g(k)=1$2) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\pm3$일 때 : $\displaystyle \lim_{k\to-\infty}g(k)=0$, $\displaystyle \lim_{k\to\infty}g(k)=2$3) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\pm3$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\pm3$일 때 : $\displaystyle \lim_{k\to-\infty}g(k)=\lim_{k\to\infty}g(k)=1$4) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\pm3$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$일 때 : $\displaystyle \lim_{k\to-\infty}g(k)=2$, $\displaystyle \lim_{k\to\infty}g(k)=0$조건 (1)에 의해 가능한 경우는 위의 4) 뿐이고, $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=3$인 경우 $\displaystyle g(-a)=2$,$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-3$인 경우 $\displaystyle g(-a)=3$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-3$위의 사실과 조건 (3)에 의해 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 다음과 같다.

조건 (4)로부터 점 $\displaystyle (-3,-3)$은 직선 $\displaystyle y=-3$과 곡선 $\displaystyle y=\frac12x(x-a)(x+a)$의 교점이다.

$\displaystyle -3=\frac12(-3)(-3-a)(-3+a)$로부터 $\displaystyle a=\sqrt7$. 따라서

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}-3&(x<-3)\\\frac12x(x-\sqrt7)(x+\sqrt7)&(-3\le x<-2)\\3&(-2\le x<-1)\\\frac12x(x-\sqrt7)(x+\sqrt7)&(x\ge-1)\end{cases}$이므로 $\displaystyle f(-2a)+f\left(-\frac a2\right)+f(2a)=21\sqrt7$

[논제 3] $\displaystyle x=t^4$이라고 하면 $\displaystyle \sin\sqrt[4]x=\sin t,\sqrt x=t^2,dx=4t^3dt$. 치환적분법을 이용하면$\displaystyle \int\frac{\sin\sqrt[4]x}{4\sqrt x}\,dx=\int t\sin t\,dt$

한편 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C$ ($\displaystyle C$는 적분상수)이므로$\displaystyle a_n=\frac1{4\pi}\int_{\pi^4}^{n^4\pi^4}\frac{\sin\sqrt[4]u}{\sqrt u}\,du=\frac1\pi\int_\pi^{n\pi}x\sin x\,dx=\frac1\pi\Biggl[-x\cos x+\sin x\Biggr]_\pi^{n\pi}=-n(-1)^n-1$

따라서 $\displaystyle a_{2n-1}=2n-2$이고 $\displaystyle a_{2n}=-2n-1$이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{a_{2n}}}{2^{a_{2n-1}}}=\sum_{n=1}^\infty2^{-4n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac18\left(\frac1{16}\right)^{n-1}=\frac{\frac18}{1-\frac1{16}}=\frac2{15}$