자연계열 2번

[논제 1] $\displaystyle x=0$일 때 조건 (1)에서 $\displaystyle f(2)=f(0)+2$이고 조건 (2)에서 $\displaystyle f(0)+f(2)=2$이므로 $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(2)=2$이다. 또, $\displaystyle x=1$일 때 조건 (2)에서 $\displaystyle f(1)=1$이다. 따라서 조건 (1)에서 모든 정수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(k)=k$$\displaystyle f(x)$가 역함수를 가지므로 $\displaystyle f^{-1}(-1)=-1$이고 $\displaystyle f^{-1}(4)=4$이다. 따라서$\displaystyle \int_{-1}^4f(x)\,dx+\int_{-1}^4f^{-1}(x)\,dx=16-1=15$이므로$\displaystyle \int_{-1}^4f^{-1}(x)\,dx=15-\int_{-1}^4f(x)\,dx$

그러므로 $\displaystyle \int_{-1}^4f(x)\,dx$의 값을 구하면 된다. 조건 (1)에서$\displaystyle \int_2^4f(x)\,dx=\int_0^2f(x+2)\,dx=\int_0^2\{f(x)+2\}\,dx=\int_0^2f(x)\,dx+4$이므로$\displaystyle \int_{-1}^4f(x)\,dx=\int_{-1}^0f(x)\,dx+2\int_0^2f(x)\,dx+4$ …………… (*)

한편, 조건 (1)에서 $\displaystyle f(2-x)=f(-x)+2$이고, 조건 (2)에서 $\displaystyle 0\le x\le2$일 때 $\displaystyle f(2-x)=2-f(x)$이므로$\displaystyle -2\le x\le2$일 때 $\displaystyle f(x)+f(-x)=0$, 즉 원점에 대칭이다. 따라서$\displaystyle \int_{-1}^1f(x)\,dx=0$이고 조건 (3)에서$\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=-\int_{-1}^0f(x)\,dx=\frac58$ …………… (**)

또한, 조건 (1)에서$\displaystyle \int_1^2f(x)\,dx=\int_{-1}^0f(x+2)\,dx=\int_{-1}^0\{f(x)+2\}\,dx=-\frac58+2=\frac{11}8$이므로 (*)과 (**)에서$\displaystyle \int_{-1}^4f(x)\,dx=-\frac58+2\left(\frac58+\frac{11}8\right)+4=\frac{59}8$그러므로 $\displaystyle \int_{-1}^4f^{-1}(x)\,dx=15-\frac{59}8=\frac{61}8$

[논제 2] 점 $\displaystyle \mathrm{P}(u,g(u))$에서 원 $\displaystyle \mathrm{O}$의 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{P}(u,g(u))$에서 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 접선과 일치하므로 접선의 방정식은$\displaystyle y-g(u)=g^{\prime}(u)(x-u)$또한, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나고 접선에 수직인 직선이 원 $\displaystyle \mathrm{O}$의 중심 $\displaystyle (t,0)$을 지나므로$\displaystyle 0=-\frac1{g^{\prime}(u)}(t-u)+g(u)$이고, $\displaystyle g(x)=ae^x+b$이므로 이를 정리하면$\displaystyle u+ae^u(ae^u+b)=t$

문제에서 요구하는 $\displaystyle b$의 최솟값을 구하기 위해서$\displaystyle h(u)=u+ae^u(ae^u+b)$가 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로 가는 일대일대응이 되도록 하는 $\displaystyle b$를 모두 찾으면 충분하다.먼저$\displaystyle \lim_{u\to\infty}h(u)=\infty,\quad\lim_{u\to-\infty}h(u)=-\infty$이고 $\displaystyle h(u)$는 연속함수이므로 $\displaystyle g(t)\ne0$인 각각의 $\displaystyle t$에 대하여 방정식 $\displaystyle h(u)=t$가 하나 이상의 해를 가진다.또한, $\displaystyle h(u)$는 상수인 구간이 없으므로, $\displaystyle h(u)$가 일대일함수이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle h^{\prime}(u)\ge0$.$\displaystyle h^{\prime}(u)=1+2a^2e^{2u}+abe^u$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(u)\ge0$이기 위해서는1) $\displaystyle b\ge0$일 때는 모든 실수 $\displaystyle u$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(u)\ge0$,2) $\displaystyle b<0$일 때는 $\displaystyle h^{\prime}(u)=1+2\left(ae^u+\frac b4\right)^2-\frac{b^2}8$에서 $\displaystyle b\ge-2\sqrt2$는 $\displaystyle h^{\prime}(u)\ge0$이기 위한 필요충분조건이다.

그러므로 $\displaystyle b$의 최솟값은 $\displaystyle -2\sqrt2$