자연계열 1번

[논제 1] 삼각형 $\displaystyle \Delta\mathrm{AB}_2\mathrm{B}_3$은 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}_2$가 꼭짓점이고 $\displaystyle R$에 포함되는 삼각형 중에서 넓이가 최대인 삼각형이므로 점 $\displaystyle \mathrm{B}_3$은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 중에서 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}_2}$에서 가장 멀리 있는 점이다. 그런데 제시문 (나)에 의해서 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}_2}$와 $\displaystyle \mathrm{B}_3$가 가장 멀리 있을때에는 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}_2}$의 기울기와 $\displaystyle \mathrm{B}_3$에서의 접선의 기울기가 같으므로, 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}_2}$의 기울기는$\displaystyle \frac{3\left(a_2+\frac23\right)(3a_2-1)}{a_2+\frac23}$

이고 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac1{18}\right)=-4$이므로 $\displaystyle a_2=-\frac19$을 얻는다.

마찬가지로 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}_1}$의 기울기는 $\displaystyle 3(1-3a_1)$이고 $\displaystyle g^{\prime}\left(-\frac19\right)=1$이므로 $\displaystyle a_1=\frac29$

[논제 2] $\displaystyle S$에 내접하는 임의의 삼각형 $\displaystyle \Delta\mathrm{ABC}$가 있다. 당연히 $\displaystyle \Delta\mathrm{ABC}$의 넓이보다 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$가 꼭짓점이고 넓이가 최대인 삼각형 $\displaystyle \Delta\mathrm{ABB}_1$의 넓이가 크거나 같고, 다시 삼각형 $\displaystyle \Delta\mathrm{ABB}_1$의 넓이보다 삼각형 $\displaystyle \Delta\mathrm{AB}_1\mathrm{B}_2$의 넓이가 더 크거나 같다. 이 과정을 반복해서 얻은 삼각형 $\displaystyle \Delta\mathrm{AB}_n\mathrm{B}_{n+1}$의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \Delta\mathrm{AB}_{n-1}\mathrm{B}_n$의 넓이보다 같거나 크다.한편 수열 $\displaystyle \{a_n\}$을 살펴보기 위해서 [논제 1]과 같이 접선의 기울기와 선분의 기울기의 관계를 이용하자.점 $\displaystyle \mathrm{B}_n$이 $\displaystyle \mathrm{B}_n(a_n,f(a_n))$과 $\displaystyle \mathrm{B}_n(a_n,g(a_n))$인 두 가지 경우가 있으므로 각 경우를 나누어 생각하자. 먼저 $\displaystyle \mathrm{B}_n(a_n,f(a_n))$이라면 $\displaystyle \Delta\mathrm{AB}_n\mathrm{B}_{n+1}$이 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}_n$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중 넓이가 최대가 되기 위해서는 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}_n}$의 기울기는 $\displaystyle y=g(x)$의 $\displaystyle x=a_{n+1}$에서의 접선의 기울기와 같아야 한다. 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}_n}$의 기울기는$\displaystyle \frac{3\left(a_n+\frac23\right)(1-3a_n)}{a_n+\frac23}$이고 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 $\displaystyle x=a_{n+1}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle g^{\prime}(a_{n+1})=18a_{n+1}+3$이므로 $\displaystyle a_{n+1}=-\frac12a_n$을 얻는다. 마찬가지로 $\displaystyle \mathrm{B}_n(a_n,g(a_n))$인 경우에도 $\displaystyle a_{n+1}=-\frac12a_n$을 얻는다.

따라서 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 공비가 $\displaystyle -\frac12$인 등비수열이고, $\displaystyle a_1\ne0$이라면 삼각형 $\displaystyle \Delta\mathrm{AB}_n\mathrm{B}_{n+1}$의 넓이는 $\displaystyle n$이 증가할 때 점점 커지기 때문에 세 꼭짓점이 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle (0,g(0))$, $\displaystyle (0,f(0))$일 때 삼각형의 넓이가 가장 크다(※ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$).

그러므로 구하는 삼각형의 넓이의 최댓값은$\displaystyle \frac12\frac23\{2-(-2)\}=\frac43$

[논제 3] [논제 2]에 의하여 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 첫째항 $\displaystyle a_1=\frac14$이고 공비 $\displaystyle -\frac12$인 등비수열이므로$\displaystyle b_n=\frac1{\ln2}\sum_{k=n}^{2n-1}\frac1{\log_2|a_k|}=-\frac1{\ln2}\sum_{k=n}^{2n-1}\frac1{k+1}$

따라서 제시문 (라)에 의해서$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}b_n&=-\frac1{\ln2}\lim_{n\to\infty}\sum_{\ell=n}^{2n-1}\frac1{\ell+1}\\&=-\frac1{\ln2}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{\frac kn+1}\frac1n=-\frac1{\ln2}\int_0^1\frac1{x+1}\,dx=-1\end{aligned}$