자연계열 2번

[논제 1] $\displaystyle k(x)=f(g(x))$라 하자. 그러면 함수 $\displaystyle k(x)$는 미분가능하고$\displaystyle k^{\prime}(x)=2f^{\prime}(\sin2x)\cos2x$

$\displaystyle \sin2x$와 $\displaystyle \cos2x$의 주기는 $\displaystyle \pi$이므로 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 조건 (1)에 의하여,1) $\displaystyle f^{\prime}(\sin2x)>0,\cos2x>0$인 경우 :$\displaystyle f^{\prime}(\sin2x)>0$이려면 $\displaystyle -1\le\sin2x<0$이어야 하므로 $\displaystyle \frac\pi2<x<\pi$이고$\displaystyle \cos2x>0$이려면 $\displaystyle 0<x<\frac\pi4,\frac{3\pi}4<x<\pi$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle \frac{3\pi}4<x<\pi$2) $\displaystyle f^{\prime}(\sin2x)<0,\cos2x<0$인 경우 :$\displaystyle f^{\prime}(\sin2x)<0$이려면 $\displaystyle 0<\sin2x\le1$이어야 하므로 $\displaystyle 0<x<\frac\pi2$이고$\displaystyle \cos2x<0$이려면 $\displaystyle \frac\pi4<x<\frac{3\pi}4$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle \frac\pi4<x<\frac\pi2$1), 2)로부터 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}>0$인 구간은 $\displaystyle \frac\pi4<x<\frac\pi2$와 $\displaystyle \frac{3\pi}4<x<\pi$이므로$\displaystyle t_1=\frac\pi4,t_2=\frac\pi2,t_3=\frac{3\pi}4,t_4=\pi$

따라서 $\displaystyle (t_2-t_1)+(t_4-t_3)=\frac\pi2$. 함수 $\displaystyle k(x)$는 주기가 $\displaystyle \pi$인 주기 함수이므로 열린구간 $\displaystyle (0,n\pi)$에서$\displaystyle \sum_{j=1}^p(t_{2j}-t_{2j-1})=\frac{5\pi}2$이려면 $\displaystyle n=5$

[논제 2] 조건 (2)로부터 $\displaystyle f(-1)=-f(1)$이므로두 점 $\displaystyle (-1,f(-1))$과 $\displaystyle (1,f(1))$을 지나는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=\ell(x)$라 하면 $\displaystyle \ell(x)=f(1)x$이다.

한편 조건 (3)과 (4)에 의하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (-1,1)$에서는 위로 볼록하다. 따라서 직선 $\displaystyle y=\ell(x)$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 오직 두 점 $\displaystyle (-1,f(-1)),(1,f(1))$에서만 만나고 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 $\displaystyle \ell(x)\le f(x)$이다.즉, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 개형은 다음과 같다.

조건 (4)에 의하여$\displaystyle 3=\int_{-1}^1\{f(x)-\ell(x)\}\,dx=\int_{-1}^1\{f(x)-f(1)x\}\,dx=\int_{-1}^1f(x)\,dx$이므로$\displaystyle h(1)=3$ …………… (*)

부분적분법에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int h(x)\sin x\,dx&=\int h(x)\cos x\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\\&=-h(x)\cos x\ln\cos x+\int\{f(x)\cos x-h(x)\sin x\}\ln\cos x\,dx\end{aligned}$…………… (**)이고$\displaystyle \int h(x)\sin x\,dx=-h(x)\cos x+\int f(x)\cos x\,dx$ …………… (***)그러므로 식 (**)와 (***)에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}&\int\{f(x)\cos x+h(x)\sin x\ln\cos x-f(x)\cos x\ln\cos x\}\,dx\\&=h(x)\cos x-h(x)\cos x\ln\cos x+C\end{aligned}$

이므로($\displaystyle C$는 적분상수), 식 (*)와 $\displaystyle h(-1)=0$에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{-1}^1\{f(x)\cos x+h(x)\sin x\ln\cos x-f(x)\cos x\ln\cos x\}\,dx\\&=3\cos1-3\cos1\ln\cos1\\&=3\cos1(1-\ln\cos1)\\&=3\cos1\ln\frac e{\cos1}\end{aligned}$