자연계열 1번

[논제 1]$\displaystyle f(x)=\bigl||\tan x|-1\bigr|=\begin{cases}\tan x-1&(\frac\pi4\le x<\frac\pi2)\\-\tan x+1&(0\le x<\frac\pi4)\\\tan x+1&(-\frac\pi4\le x<0)\\-\tan x-1&(-\frac\pi2<x<-\frac\pi4)\end{cases}$이고, $\displaystyle f\left(\frac\pi4\right)=f\left(-\frac\pi4\right)=0$. 따라서 구하는 넓이 $\displaystyle S$는

$\displaystyle S=\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}f(x)\,dx=\frac\pi2-2\int_0^{\frac\pi4}\tan x\,dx=\frac\pi2-\ln2$

[논제 2] 함수 $\displaystyle g(x)=f(x)p(x)$는 구간 $\displaystyle \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$에서 $\displaystyle x\ne\frac\pi4,0,-\frac\pi4$일 때 미분가능하고 도함수는$\displaystyle g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)p(x)+f(x)p^{\prime}(x)$이다. 한편, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\frac\pi4,0,-\frac\pi4$에서 미분가능하지 않다.

따라서 조건 (1)로부터$\displaystyle p\left(\frac\pi4\right)=p(0)=p\left(-\frac\pi4\right)=0$이어야 하므로, 적당한 상수 $\displaystyle a$ ($\displaystyle a\ne0$)에 대하여$\displaystyle p(x)=ax\left(x-\frac\pi4\right)\left(x+\frac\pi4\right)=a\left(x^3-\frac{\pi^2}{16}x\right)\qquad\cdots$ ①이다.

$\displaystyle h(0)=0$, $\displaystyle h(x)\ge0$으로부터$\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{h(t)-h(0)}t=\lim_{t\to0^+}\frac{h(t)}t\ge0,\quad\lim_{t\to0^-}\frac{h(t)-h(0)}t=\lim_{t\to0^-}\frac{h(t)}t=-\lim_{t\to0^+}\frac{h(t)}t\le0$이므로 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하려면 $\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{h(t)}t=\lim_{t\to0^-}\frac{h(t)}t=0$이다. 또한,$\displaystyle -h(t)\le\tan t+p(t)\le h(t)$이므로$\displaystyle 0=-\lim_{t\to0^+}\frac{h(t)}t\le\lim_{t\to0}\frac{\tan t+p(t)}t\le\lim_{t\to0^+}\frac{h(t)}t=0$따라서 $\displaystyle a=\frac{16}{\pi^2}$, $\displaystyle p(x)=\frac{16}{\pi^2}x^3-x$이다.

[논제 3] $\displaystyle \tan x+p(x)$는 미분가능하고, $\displaystyle \tan x+p(x)$의 도함수는$\displaystyle \sec^2x+p^{\prime}(x)=\sec^2x+\frac{48}{\pi^2}x^2-1=\tan^2x+\frac{48}{\pi^2}x^2\ge0$이므로 구간 $\displaystyle \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$에서 함수 $\displaystyle \tan x+p(x)$는 증가한다.

또한, $\displaystyle h(0)=0$이므로 함수 $\displaystyle h(x)=\left|\tan x+\frac{16}{\pi^2}x^3-x\right|$는 $\displaystyle x<0$일 때 감소하고 $\displaystyle x>0$일 때 증가한다.따라서 극값을 갖는 $\displaystyle x$의 개수는 $\displaystyle 1$개이다.