자연계열 2번

[논제 1] $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ ($\displaystyle a<0$)라 하면 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=\{ax^2+(4a+b)x+2a+2b+c\}e^x$이다.조건 (1)에서 $\displaystyle g^{\prime\prime}(1)=g^{\prime\prime}(-5)=0$이므로 근과 계수와의 관계로부터$\displaystyle \frac{4a+b}a=4,\quad\frac{2a+2b+c}a=-5$이므로, $\displaystyle b=0$이고 $\displaystyle c=-7a$이다. 따라서$\displaystyle f(x)=a(x^2-7),\quad g(x)=a(x^2-7)e^x$또한 $\displaystyle x=-5,1$의 좌우에서 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)$의 부호가 바뀌므로 조건 (1)을 만족시킨다.

조건 (2)에서 $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle g^{\prime}(x)\le2$이므로$\displaystyle g^{\prime}(x)=a(x^2+2x-7)e^x\le2$이다. 따라서 $\displaystyle x>0$일 때,$\displaystyle (x^2+2x-7)e^x\ge\frac2a$이다. 한편 $\displaystyle m(x)=(x^2+2x-7)e^x$라 하자. $\displaystyle m^{\prime}(x)=(x+5)(x-1)e^x$에서 방정식 $\displaystyle m^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=-5$이다. $\displaystyle x>0$일 때, 함수 $\displaystyle m(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

위 표로부터 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle m(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 최솟값 $\displaystyle m(1)=-4e$을 가진다. 따라서 $\displaystyle \frac2a\le-4e$이고 $\displaystyle a$는 음수이므로$\displaystyle -\frac1{2e}\le a<0$ ……………………………… ①

$\displaystyle f(x)=a(x^2-7)$이므로$\displaystyle f(1)=-6a$ ……………………………… ②①과 ②에서$\displaystyle f(1)=-6a\le\frac3e$이다. 따라서 $\displaystyle f(1)$의 최댓값은 $\displaystyle a=-\frac1{2e}$일 때 $\displaystyle \frac3e$이다.

[논제 2] $\displaystyle k^{\prime}(x)=h^{\prime}(x)\{h(x)-1\}e^{h(x)}$이고 $\displaystyle k^{\prime}(x)=0$에서$\displaystyle h^{\prime}(x)=0$이거나 $\displaystyle h(x)=1$이다. $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$이 중근을 갖거나 근을 갖지 않는 경우, $\displaystyle h(x)=1$은 하나의 근을 갖는다. 이것은 조건 (1)에 모순이다. 따라서 방정식 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$은 서로 다른 두 근을 갖는다.

방정식 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$의 두 근이$\displaystyle 0,2$인 경우, $\displaystyle 0,r$인 경우, $\displaystyle 2,r$인 경우로 나누어 생각하자.(i) 두 근이 $\displaystyle 0,2$인 경우: $\displaystyle h(r)=1$이므로 조건 (2)에 모순이다.(ii) 두 근이 $\displaystyle 0,r$인 경우: $\displaystyle r<0$인 경우와 $\displaystyle r>0$인 경우로 나누어 생각하자.• $\displaystyle r<0$일 때, 조건 (1)에 의하여 $\displaystyle h(0)=1$이므로 조건 (3)에 모순이다.

• $\displaystyle r>0$일 때, 조건 (3)에 모순이다.

따라서 두 근은 $\displaystyle 2$와 $\displaystyle r$이다.(이때 $\displaystyle h(0)=1$) 이 경우도 $\displaystyle 0,r,2$의 크기 비교를 위해,$\displaystyle r<0$인 경우와 $\displaystyle 0<r<2$, $\displaystyle r>2$인 경우로 나누어 생각하자.• $\displaystyle 2<r$일 때, $\displaystyle 1\ge h(2)>h(r)=3$이므로 모순이다.

• $\displaystyle r<0$일 때, $\displaystyle h(0)=1$이고 $\displaystyle h(2)$는 극솟값이고 $\displaystyle h(x)=1$의 해가 $\displaystyle 3$개이므로 조건 (1)에 모순이다.

그러므로$\displaystyle 0<r<2$이고, $\displaystyle h(x)$의 그래프는 아래와 같다.

$\displaystyle h(x)-1=0$의 근은 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle 2$(중근)이므로$\displaystyle h(x)-1=ax(x-2)^2$ ……………………………… ③이다.

$\displaystyle h^{\prime}(x)=a(x-2)(3x-2)$이므로 $\displaystyle r=\frac23$이다.

$\displaystyle h\left(\frac23\right)=3$이므로 ③으로부터 $\displaystyle a=\frac{27}{16}$이다.