자연계열 2번

[논제 1] 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$의 그래프의 개형을 생각해 보자. $\displaystyle f(x)$는 연속함수이고 미분가능하며$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2},\quad f^{\prime\prime}(x)=\frac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}$이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이고, 구간 $\displaystyle [-k,k]$에서최솟값 $\displaystyle f(-k)=\frac1{e^k+1}$, 최댓값 $\displaystyle f(k)=1-\frac1{e^k+1}$을 갖고 $\displaystyle f(0)=\frac12$이다.

또한$\displaystyle x<0$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 증가하고 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 감소한다. 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소에 관한 표와 그래프는 아래와 같다.

변 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 만나지 않고,

변 $\displaystyle \mathrm{BC}$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 한 점에서 만나므로 변 $\displaystyle \mathrm{AC}$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 세 점에서 만나야 한다.

즉, 점 $\displaystyle \mathrm{A}(-k,0)$과 점 $\displaystyle \mathrm{C}(k,1)$을 지나는 직선의 방정식 $\displaystyle y=\frac1{2k}x+\frac12$과 곡선 $\displaystyle y=\frac{e^x}{e^x+1}$은 $\displaystyle -k\le x\le k$의 범위에서 서로 다른 세 점에서 만나야 한다.직선 $\displaystyle y=\frac1{2k}x+\frac12$이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 점 $\displaystyle \left(0,\frac12\right)$에서 접할 때(직선의 기울기) $\displaystyle =\frac1{2k}=f^{\prime}(0)=\frac14$이다. 따라서, $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형에 의하여, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 직선 $\displaystyle y=\frac1{2k}x+\frac12$과 서로 다른 세 점에서 만나려면 (직선의 기울기)$\displaystyle =\frac1{2k}<\frac14$, 즉 $\displaystyle k>2$이어야 한다. 또한$\displaystyle f(-k)=\frac1{e^k+1}>0,\quad f(k)=1-\frac1{e^k+1}<1$이므로 세 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 모두 $\displaystyle -k\le x\le k$의 범위에 있다.결국 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 곡선 $\displaystyle y=\frac{e^x}{e^x+1}$이 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 양의 실수 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle k>2$이다.

[논제 2] $\displaystyle g(x)=(\beta^{-1}\circ\alpha)(x)$라 하면 $\displaystyle \alpha(x)=(\beta\circ g)(x)$이므로 제시문 (라)에 의해서$\displaystyle \int_0^{\ln2}\sqrt{f(t)}\,dt=\int_{g(0)}^{g(\ln2)}\frac2{1-t^2}\,dt$$\displaystyle g(0)=\sqrt{f(0)}=\sqrt{\frac12}\qquad\cdots$ ①을 만족시키는 치환 $\displaystyle u=g(t)$를 구하면 된다. ①을 만족시키기 위해서 $\displaystyle u=\sqrt{f(t)}$로 치환해 보자.

$\displaystyle u^2=f(t)$이므로$\displaystyle 2u\frac{du}{dt}=f^{\prime}(t)=\frac{e^t}{(1+e^t)^2}=\left(\frac{e^{2t}}{(1+e^t)^2}\frac1{e^t}\right)=u^4\left(\frac1{u^2}-1\right)=u^2(1-u^2)$이다.

따라서$\displaystyle \int_0^x\sqrt{f(t)}\,dt=\int_c^{g(x)}\frac2{1-u^2}\,du$가 성립한다.

그러므로 $\displaystyle (\beta^{-1}\circ\alpha)(\ln2)=\sqrt{f(\ln2)}=\sqrt{\frac23}$.