자연계열 1번

단국대 2024학년도 수시 (오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2024su_pm/jayeon_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (55점)

(가) 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$ , $\displaystyle C$ 는 적분상수

(나) 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서• $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극댓값• $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극솟값을 갖는다.

(다) 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 $\displaystyle g(x)=t$ 로 놓으면 $\displaystyle \int f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx=\int f(t)\,dt$

(라) 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 미분가능할 때 $\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$

두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle f(x)=\int_1^x\frac{2t}{t^2+3}\,dt,\quad g(x)=ax+\frac8{x^2+3}$ 라 하자. (단, $\displaystyle a$ 는 상수)

[논제 1] 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 가 $\displaystyle x$ 축과 만나는 두 점과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$ 를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 $\displaystyle \ln\frac43$ 가 되는 상수 $\displaystyle t$ 의 값을 모두 구하시오. (15점)

[논제 2] 다음 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle a$ 의 범위를 구하시오. (20점)

함수 $\displaystyle g(x)=ax+\frac8{x^2+3}$ 는 $\displaystyle x=\alpha,\beta$ ( $\displaystyle \alpha<\beta$ )에서만 극값을 갖고, $\displaystyle g(\alpha)>g(\beta)$ 이다.

[논제 3] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle h(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(1) $\displaystyle h(0)+g^{\prime\prime}(0)=f(-1)$ (2) $\displaystyle h(1)+g(1)=g^{\prime}(-1)$ (3) $\displaystyle \int_0^1\frac{h^{\prime}(x)}{x^2+3}\,dx=-1$

정적분 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin2x\,h(\cos x)}{(3+\cos^2x)^2}\,dx$ 의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

단국대 2024학년도 수시 (오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2024su_pm/jayeon_1

+6점 ·

\displaystyle f(x)=\ln(x^2+3)-\ln4

임을 제시

[논제 1] 먼저 $\displaystyle f(x)=\int_1^x\frac{2t}{t^2+3}\,dt=\ln(x^2+3)-\ln4=\ln\frac{x^2+3}4$ 이다.

+9점 · 정답을 제시 (각 3점씩)

곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 가 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle -1,1$ 이므로 삼각형 밑변의 길이는 $\displaystyle 2$ 이고 높이는 $\displaystyle \left|\ln\frac{t^2+3}4\right|$ 이다. 따라서(삼각형 넓이) $\displaystyle =\left|\ln\frac{t^2+3}4\right|=\ln\frac43$ 에서 $\displaystyle t=0,\frac{\sqrt{21}}3,-\frac{\sqrt{21}}3$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle g^{\prime}(x)=a-\frac{16x}{(x^2+3)^2}

를 제시

[논제 2] 먼저 $\displaystyle g(x)$ 의 극값이 두 개이므로 $\displaystyle \alpha<\beta$ 일 때, “ $\displaystyle g(\alpha)>g(\beta)$ ”은“함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 극댓값을 갖고, $\displaystyle x=\beta$ 에서 극솟값을 갖는다”와 필요충분조건이다. 함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)=a-\frac{16x}{(x^2+3)^2}$ 의 그래프의 개형을 그리자.

+7점 · 두 개의 극값을 갖는

\displaystyle a

의 범위를 제시

$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=-\frac{16(x^2+3)^2-64x^2(x^2+3)}{(x^2+3)^4}=\frac{48(x^2-1)}{(x^2+3)^3}$ 이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 는 $\displaystyle x=-1$ 에서 극댓값 $\displaystyle a+1$ , $\displaystyle x=1$ 에서 극솟값 $\displaystyle a-1$ 을 갖는다.한편 $\displaystyle g^{\prime}(0)=a$ 이고 $\displaystyle \begin{cases}g^{\prime}(x)<a&(x>0)\\g^{\prime}(x)>a&(x<0)\end{cases},\quad\lim_{x\to\pm\infty}g^{\prime}(x)=a$ 이므로 함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 의 그래프의 개형은 다음과 같다.

( $\displaystyle y=g^{\prime}(x)$ 의 그래프)

+10점 · 정답을 제시

그러므로 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 극대이고 $\displaystyle x=\beta$ ( $\displaystyle \alpha<\beta$ )에서 극소를 갖기 위해서는 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle x$ 축이 직선 $\displaystyle y=a-1$ 과 $\displaystyle y=a$ 사이에 놓여 있어야 한다. 따라서 $\displaystyle a-1<0<a$ .즉 $\displaystyle 0<a<1$ 이다.

(별해) $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{a(x^2+3)^2-16x}{(x^2+3)^2}$ 가 $\displaystyle x=\alpha,\beta$ 에서 극값을 가질 필요충분조건은 $\displaystyle G(x)=a(x^2+3)^2-16x$ 가 $\displaystyle x=\alpha,\beta$ 에서 극값을 갖는 것이다. 따라서 $\displaystyle G(x)$ 가 극대, 극소가 되는 $\displaystyle x=\alpha,\beta$ 를 파악해도 된다.Caution. 양의 함수를 곱하거나 나누면 부호와 영점은 같지만 극값을 갖는 위치는 달라질 수 있다: 별해에서는 양의 분모를 없앤 $\displaystyle G$ 와 $\displaystyle g^{\prime}$ 가 같은 점에서 극값을 갖는다고 놓았다. 그러나 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{G(x)}{(x^2+3)^2}$ 이므로 두 함수의 영점과 부호는 같아도 극값을 갖는 위치까지 같지는 않다. $\displaystyle g$ 의 극값은 $\displaystyle G(x)=0$ 인 점의 좌우에서 부호가 바뀌는지로 판단해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 ·

\displaystyle h(0)=\frac{16}9,h(1)=-1

를 제시

[논제 3] $\displaystyle g^{\prime}(x)=a-\frac{16x}{(x^2+3)^2}$ 이고 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=-\frac{16}{(x^2+3)^2}+\frac{64x^2}{(x^2+3)^3}$ 이므로 $\displaystyle f(-1)=0,\quad g(1)=a+2,\quad g^{\prime}(-1)=a+1,\quad g^{\prime\prime}(0)=-\frac{16}9$ 이다. 조건 (1)과 (2)에 의하여 $\displaystyle h(0)=\frac{16}9,\quad h(1)=g^{\prime}(-1)-g(1)=-1$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin2x\,h(\cos x)}{(3+\cos^2x)^2}\,dx=\int_0^1\frac{2u\,h(u)}{(u^2+3)^2}\,du

임을 제시

$\displaystyle \sin2x=2\sin x\cos x$ 이므로 $\displaystyle \cos x=u$ 라 하면 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin2x\,h(\cos x)}{(3+\cos^2x)^2}\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\frac{2\sin x\cos x\,h(\cos x)}{(3+\cos^2x)^2}\,dx=\int_0^1\frac{2u\,h(u)}{(u^2+3)^2}\,du$ 이다.

+10점 · 정답을 제시

여기서 $\displaystyle k(u)=\frac1{u^2+3}$ 이라고 하면 $\displaystyle k^{\prime}(u)=-\frac{2u}{(u^2+3)^2}$ 이므로부분적분법을 이용하면 $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1\frac{2u\,h(u)}{(u^2+3)^2}\,du&=-\int_0^1k^{\prime}(u)h(u)\,du\\&=-\Biggl[k(u)h(u)\Biggr]_0^1+\int_0^1k(u)h^{\prime}(u)\,du\\&=-k(1)h(1)+k(0)h(0)+\int_0^1\frac{h^{\prime}(u)}{u^2+3}\,du\\&=-\frac14h(1)+\frac13h(0)+\int_0^1\frac{h^{\prime}(u)}{u^2+3}\,du=-\frac{17}{108}\end{aligned}$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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