자연계열 1번

[논제1] $\displaystyle f^{\prime}(x)=e^x(x-a)$이므로, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 극솟값을 갖는다. 따라서$\displaystyle f(x)=\int_0^xte^t\,dt-a\int_0^xe^t\,dt=(x-1-a)e^x+1+a$에서 $\displaystyle f(a)=1+a-e^a=g(a)$이고,

극솟값 $\displaystyle 1+a-e^a=3-e^a$이므로 $\displaystyle a=2$이다.

[논제2] $\displaystyle F^{\prime}(x)=xe^x$이고, [논제1]에 의하여 $\displaystyle g(x)=1+x-e^x$, $\displaystyle g(2)=3-e^2=m$이다.정적분 $\displaystyle \int_0^mF^{\prime}(h(x))\,dx$의 값을 구하기 위해서 $\displaystyle x=g(u)$로 치환하면, $\displaystyle h(x)=u$이고, $\displaystyle \frac{dx}{du}=g^{\prime}(u)=(1-e^u)$이다. 또한 $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle u=h(0)=0$이고, $\displaystyle x=m$일 때 $\displaystyle u=h(m)=2$이므로

$\displaystyle \int_0^mF^{\prime}(h(x))\,dx=\int_0^2F^{\prime}(u)g^{\prime}(u)\,du=\int_0^2ue^u(1-e^u)\,du$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\Biggl[u\left(e^u-\frac12e^{2u}\right)\Biggr]_0^2-\int_0^2\left(e^u-\frac12e^{2u}\right)\,du\\&=\frac34+e^2-\frac34e^4\end{aligned}$

[논제3] 정삼각형 $\displaystyle T$의 높이는 $\displaystyle 3$이고, 무게중심에서 꼭짓점까지의 거리는 $\displaystyle 2$이다. 따라서 정삼각형 $\displaystyle T$의 위쪽 꼭짓점의 좌표를 $\displaystyle (x,c(x))$라 하면, $\displaystyle c(x)=k(x)+2$이다. 정삼각형 $\displaystyle T$의 $\displaystyle x$축 위쪽에 위치하는 부분의 넓이 $\displaystyle A(x)$는 높이가 $\displaystyle c(x)$인 정삼각형의 넓이이므로$\displaystyle A(x)=\frac{c(x)^2}{\sqrt3}=\frac{\{k(x)+2\}^2}{\sqrt3}$이다.

한편 $\displaystyle A(x)=\frac{\sqrt3}3(1+g(x))=\frac{\sqrt3}3(2+x-e^x)$이므로$\displaystyle \frac{\{k(x)+2\}^2}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3(2+x-e^x)$정삼각형 $\displaystyle T$의 위쪽 꼭짓점이 $\displaystyle x$축 위에 있으므로 $\displaystyle c(x)=k(x)+2\ge0$$\displaystyle k(x)+2=\sqrt{2+x-e^x},\quad k(x)=-2+\sqrt{2+x-e^x}\quad(-1\le x\le1)$

$\displaystyle k^{\prime}(x)=\frac{1-e^x}{2\sqrt{2+x-e^x}}=0$으로부터 $\displaystyle k(x)$의 최댓값은 $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle -1$이다.