자연계열 2번

[논제1] 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (-1,1)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}>0$이므로 증가하고, 또한 구간 $\displaystyle (-\infty,-1)$와 $\displaystyle (1,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 감소한다. 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

닫힌구간 $\displaystyle [b,c]$에서 함수 $\displaystyle f(x)$가 일대일함수이기 위해서는 구간 $\displaystyle [b,c]$가 다음의 세 가지 경우 중 하나를 만족하여야 한다.(경우1) $\displaystyle [b,c]\subset(-\infty,-1]$(경우2) $\displaystyle [b,c]\subset[1,\infty)$(경우3) $\displaystyle [b,c]\subset[-1,1]$

(경우1)은 $\displaystyle c\le-1$이므로 $\displaystyle c$가 양의 실수임에 위배된다.(경우2)에서 $\displaystyle b\ge1$이므로, $\displaystyle b$가 음의 실수임에 위배된다.(경우3)에서 $\displaystyle a\in(-1,1)$이면, 조건을 만족하는 음의 실수 $\displaystyle b$와 양의 실수 $\displaystyle c$가 존재한다. 만일 $\displaystyle a=-1$이면 $\displaystyle b<-1$이어야 하므로, $\displaystyle a\ne-1$이다. 마찬가지 이유로 $\displaystyle a\ne1$이다.따라서 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle (-1,1)$이다.

[논제2](ⅰ) $\displaystyle A(x)$ 구하기실수 $\displaystyle x$의 구간을 $\displaystyle x<0$, $\displaystyle 0\le x<1$, $\displaystyle x\ge1$인 경우로 나누어 각각의 경우에서 조건을 만족시키는 $\displaystyle A(x)$를 구한다.(경우1) $\displaystyle x<0$: $\displaystyle 0\le f(t)\le1$이므로$\displaystyle A(x)=\int_0^1|f(t)-x|\,dt=\int_0^1(f(t)-x)\,dt=\int_0^1\frac{2t}{1+t^2}\,dt-x=\ln2-x$(경우2) $\displaystyle 0\le x<1$: 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle f(t)$는 일대일함수이므로 역함수 $\displaystyle g(t)$가 존재한다.$\displaystyle \begin{aligned}A(x)&=\int_0^1|f(t)-x|\,dt=\int_0^{g(x)}(x-f(t))\,dt+\int_{g(x)}^1(f(t)-x)\,dt\\&=\ln2-2\ln(1+[g(x)]^2)-x+2xg(x)\end{aligned}$(경우3) $\displaystyle x\ge1$: (경우1)과 동일한 방법으로 $\displaystyle A(x)=x-\ln2$그러므로$\displaystyle A(x)=\begin{cases}\ln2-x&(x<0)\\\ln2-2\ln(1+[g(x)]^2)-x+2xg(x)&(0\le x<1)\\x-\ln2&(x\ge1)\end{cases}$

(ⅱ) $\displaystyle c$ 구하기$\displaystyle x<0$일 때 $\displaystyle A^{\prime}(x)=-1$이고, $\displaystyle x\ge1$일 때 $\displaystyle A^{\prime}(x)=1$이다.$\displaystyle 0\le x<1$일 때, $\displaystyle \frac{2g(x)}{1+[g(x)]^2}=f(g(x))=x$이므로$\displaystyle A^{\prime}(x)=-2\frac{2g(x)}{1+[g(x)]^2}[g(x)]^{\prime}-1+2g(x)+2x[g(x)]^{\prime}=2g(x)-1$$\displaystyle A^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle g(x)=\frac12$이므로 $\displaystyle x=f\left(\frac12\right)=\frac45$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이고, $\displaystyle A^{\prime\prime}(x)=2g^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle A(x)$는 $\displaystyle x=\frac45$에서 극솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle c=\frac45$이다.

(ⅲ) $\displaystyle A(k)=\ln2$인 $\displaystyle k$ 구하기 ($\displaystyle k>0$)$\displaystyle A(x)$는 아래로 볼록하고 $\displaystyle A(0)=\ln2$, $\displaystyle A(1)=1-\ln2$이다.∙$\displaystyle 0<x\le1$에서 $\displaystyle A(x)=\ln2$를 만족하는 $\displaystyle x$는 존재하지 않는다.∙$\displaystyle x>1$에서 $\displaystyle A(x)=x-\ln2=\ln2$인 $\displaystyle x=2\ln2$이다.따라서 $\displaystyle k=2\ln2$이다.