자연계열 1번

[논제1]$\displaystyle k(t)=e^{-(at)^2}f(at)$, $\displaystyle K(x)=\int_1^xk(t)\,dt$라 하자.$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac1x\int_1^{x+1}e^{-(at)^2}f(at)\,dt=\lim_{x\to0}\frac{K(x+1)-K(1)}x=K^{\prime}(1)=k(1)=e^{-a^2}f(a)=0$

따라서 $\displaystyle \cos a=\sin a$로부터 $\displaystyle a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac\pi4$

[논제2] 교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle p$라 하면, $\displaystyle g(p)=h(p)$로부터$\displaystyle \cos p-\sin p=b\quad\cdots\cdots$ (1)

또한 $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^{-x}(f^{\prime}(x)-f(x))$, $\displaystyle h^{\prime}(x)=-be^{-x}$이고, $\displaystyle g^{\prime}(p)=h^{\prime}(p)$이므로$\displaystyle 2\cos p=b\quad\cdots\cdots$ (2)

(1)과 (2)에 의해 $\displaystyle \cos p=-\sin p$에서 $\displaystyle \tan p=-1$이다. $\displaystyle b$는 양의 실수이므로 $\displaystyle p_2=\frac{15\pi}4$(2)에 의해 $\displaystyle b=\sqrt2$이므로$\displaystyle b+p_2=\sqrt2+\frac{15\pi}4$

[논제3] 방정식 $\displaystyle g(x)=0$을 만족시키는 양수 $\displaystyle x$를 작은 수부터 7개 구하면$\displaystyle x=\frac\pi4,\frac\pi4+\pi,\frac\pi4+2\pi,\frac\pi4+3\pi,\frac\pi4+4\pi,\frac\pi4+5\pi,\frac\pi4+6\pi$이다. 도형의 넓이 $\displaystyle A_1$은 $\displaystyle \frac\pi4\le x\le\frac{5\pi}4$에서 $\displaystyle g(x)\le0$이므로 부분적분법에 의하여$\displaystyle A_1=-\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\cos x-\sin x)e^{-x}\,dx=-\Biggl[e^{-x}\sin x\Biggr]_{\pi/4}^{5\pi/4}=\frac{\sqrt2}2\left(e^{-\frac{5\pi}4}+e^{-\frac\pi4}\right)$

이고, 또한$\displaystyle \begin{aligned}A_3&=-\int_{\pi/4+2\pi}^{5\pi/4+2\pi}(\cos x-\sin x)e^{-x}\,dx\\&=-\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\cos(x+2\pi)-\sin(x+2\pi))e^{-(x+2\pi)}\,dx=A_1e^{-2\pi}\end{aligned}$

도형의 넓이 $\displaystyle A_6$은 $\displaystyle \frac{21\pi}4\le x\le\frac{25\pi}4$에서 $\displaystyle g(x)\ge0$이므로$\displaystyle \begin{aligned}A_6&=\int_{\pi/4+5\pi}^{5\pi/4+5\pi}(\cos x-\sin x)e^{-x}\,dx\\&=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\cos(x+5\pi)-\sin(x+5\pi))e^{-(x+5\pi)}\,dx\\&=-e^{-5\pi}\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\cos x-\sin x)e^{-x}\,dx=A_1e^{-5\pi}\end{aligned}$

이다. 따라서 $\displaystyle A_1+\frac{A_6}{A_3}=\frac{\sqrt2}2\left(e^{-\frac{5\pi}4}+e^{-\frac\pi4}\right)+e^{-3\pi}$