자연계열 2번

[논제1] $\displaystyle g(0)=-2$이므로 $\displaystyle f(-2)=0$이다. 또한, $\displaystyle f(3)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=(x+2)(x-3)(x-a)$이다.$\displaystyle g(6)=1$에 의해 $\displaystyle f(1)=6$이므로, $\displaystyle a=2$이다.

방정식 $\displaystyle f(x)=(x+2)(x-3)(x-2)=6$에서 $\displaystyle (x-1)(x^2-2x-6)=0$. $\displaystyle x=1-\sqrt7,1,1+\sqrt7$이므로

$\displaystyle \lim_{t\to6-}g(t)=1-\sqrt7,\quad\lim_{t\to6+}g(t)=1+\sqrt7$

[논제2] $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-6x$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 극솟값 $\displaystyle m$을 갖는다고 하자. $\displaystyle t=0$일 때, $\displaystyle h(0)$은 <제시문> (다)에 의하여 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=n$의 교점의 $\displaystyle x$좌표 중 하나이다. $\displaystyle h(t)$가 $\displaystyle t\ge0$에서 연속이기 위해서는 $\displaystyle h(0)$가 $\displaystyle x\ge2$인 구간에 위치해야 하고, $\displaystyle h(t)$는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=t+n$이 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표 중 가장 큰 값이다. 그러므로 $\displaystyle h(t)$가 $\displaystyle t\ge0$에서 연속이기 위해서는 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 극솟값을 가지므로 $\displaystyle h(0)$가 $\displaystyle x\ge2$인 구간에 위치해야 하고, 그림과 같이 $\displaystyle t\ge0$에서 $\displaystyle h(t)$는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=t+n$이 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표 중 가장 큰 값이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)$의 극솟값을 $\displaystyle m$이라 하면 $\displaystyle m\le n$이다. 한편, $\displaystyle m\le n-1$이면 같은 이유로 모든 $\displaystyle t\ge0$에 대하여 $\displaystyle f(k(t))=t+n-1$을 만족하는 연속함수 $\displaystyle k(t)$가 존재하므로 $\displaystyle m>n-1$이다. 따라서$\displaystyle n-1<m\le n$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-6x$이므로 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+c$이다. 따라서 $\displaystyle m=f(2)=c-4$이고 $\displaystyle n-1<c-4\le n$.$\displaystyle f(h(n))=2n=f(1)=c-2$로부터 $\displaystyle c=2n+2$에서 $\displaystyle n+3<2n+2\le n+4$이고, 즉 $\displaystyle 1<n\le2$. 따라서 $\displaystyle n=2$이고 $\displaystyle c=6$이다.

$\displaystyle f(h(t))=t+2$로부터 $\displaystyle [f(h(t))]^{\prime}=f^{\prime}(h(t))h^{\prime}(t)=1$이므로$\displaystyle h^{\prime}(2)=\frac1{f^{\prime}(h(2))}\quad\cdots\cdots$ (★)또한 $\displaystyle h(2)$은 $\displaystyle f(x)=4$를 만족하는 $\displaystyle x$ 중 가장 큰 값이므로 $\displaystyle 4=f(x)=x^3-3x^2+6$에서 $\displaystyle h(2)=1+\sqrt3$. 따라서 (★)로부터 $\displaystyle h^{\prime}(2)=\frac1{f^{\prime}(1+\sqrt3)}=\frac1{3(1+\sqrt3)(-1+\sqrt3)}=\frac16$