자연계열 II 2번

(1) 김이화 과장이 첫 번째(65세 때) 받는 1000만원의 현재가치(2015년 1월 1일)를 $\displaystyle a_1$이라고 할 때 $\displaystyle a_1=1000(1.05)^{-36}$로 나타낼 수 있다. 김이화 과장은 100세 까지 총 36번의 1000만원을 수령하였는데, 일반적으로 김이화 과장이 $\displaystyle n$번째 받는 1000만원의 현재가치는 $\displaystyle a_n=1000(1.05)^{-(35+n)},n=1,\cdots,36$로 나타낼 수 있다. 이는 첫째항이 $\displaystyle a_1$ 그리고 공비가 $\displaystyle (1.05)^{-1}$인 등비수열이고, 총 36번 받은 1000만원의 현재가치의 합은 이 등비급수의 1항부터 36항까지의 합이므로 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned}S_a&=a_1\frac{1-1.05^{-36}}{1-1.05^{-1}}=1000(1.05)^{-36}\frac{1-1.05^{-36}}{1-1.05^{-1}}\\&\approx1000\cdot0.17\cdot(1-0.17)\cdot21=2963.1\end{aligned}$

(2) 김이화 과장이 첫 번째(30세때) 적립하는 적금액 (300만원) 의 현재가치 (2015년 1월1일) 를 $\displaystyle b_1$이라고 할 때 $\displaystyle b_1=300(1.05)^{-1}$로 나타낼 수 있다. 김이화 과장은 64세 까지 총 35번 매회 300만원씩을 적립하였는데, 일반적으로 김이화 과장이 $\displaystyle n$번째 적립한 금액의 현재가치는 $\displaystyle b_n=300(1.05)^{-n},\ n=1,\cdots,35$로 나타낼 수 있다. 이는 첫째항이 $\displaystyle b_1$ 그리고 공비가 $\displaystyle (1.05)^{-1}$인 등비수열이고, 총 35번 적금의 현재가치의 합은 이 등비급수의 1항부터 35항까지 합이므로 $\displaystyle S_b=b_1\frac{1-1.05^{-35}}{1-1.05^{-1}}=300(1.05)^{-1}\frac{1-1.05^{-35}}{1-1.05^{-1}}$로 구할 수 있다. (1)에서 구한$\displaystyle \approx300\cdot0.95\cdot(1-0.18)\cdot21=4907.7$퇴직금의 현재가치는 $\displaystyle S_a=2963.1$이고 $\displaystyle S_a<S_b$이므로 김이화 과장의 적금은 퇴직금을 충당하기에 충분함을 알 수 있다.

(3) 확률변수 $\displaystyle X_1$을 김이화 과장이 첫 번째 해에 적립할 금액의 현재가치라고 하면 $\displaystyle X_1$의 확률분포는

이므로 $\displaystyle X_1$의 기댓값은 $\displaystyle E[X_1]=K(1.05)^{-1}\frac{95}{100}+0\cdot\left(1-\frac{95}{100}\right)=K\frac{95}{105}$이다.

일반적으로 확률변수 $\displaystyle X_n$를 김이화 과장이 $\displaystyle n$번째 해에 적립할 금액의 현재가치라고 하면 $\displaystyle X_n$의 확률분포는

이므로 $\displaystyle X_n$의 기댓값은 $\displaystyle E[X_n]=K(1.05)^{-n}\left(\frac{95}{100}\right)^n+0\cdot\left(1-\left(\frac{95}{100}\right)^n\right)=K\left(\frac{95}{105}\right)^n$이다. 김이화 과장은 최대 35번째 해까지 적립을 하는데 이때 적금액의 현재가치 $\displaystyle S_1$은 $\displaystyle S_1=E[X_1]+\cdots+E[X_{35}]$로 나타낼 수 있고, 위 수열은 첫째항이 $\displaystyle K\frac{95}{105}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{95}{105}$인 등비수열의 1항부터 35항까지 합이므로

$\displaystyle \begin{aligned}S_1&=E[X_1]+\cdots+E[X_{35}]=K\frac{95}{105}\frac{1-\left(\frac{95}{105}\right)^{35}}{1-\frac{95}{105}}\\&\approx K\cdot0.90\cdot(1-0.030)\cdot10.5=K\cdot9.1665\end{aligned}$이다.

이제 확률변수 $\displaystyle Y_1$을 김이화 과장이 첫 번째(65세때) 받을 퇴직금 수령액의 현재가치라고 하면 $\displaystyle Y_1$의 확률분포는

이므로 $\displaystyle Y_1$의 기댓값은 $\displaystyle E[Y_1]=1000(1.05)^{-36}\left(\frac{95}{100}\right)^{36}=1000\left(\frac{95}{105}\right)^{36}$이다. 일반적으로 확률변수 $\displaystyle Y_n$를 김이화 과장이 $\displaystyle n$번째 받는 퇴직금 수령액의 현재가치라고 하면 $\displaystyle Y_1$의 확률분포는Correction. 마지막 $\displaystyle Y_1$은 $\displaystyle Y_n$의 오기이다. 바로 뒤의 표는 $\displaystyle n$번째 퇴직금의 현재가치 $\displaystyle Y_n$의 분포를 나타낸다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이므로 $\displaystyle Y_n$의 기댓값은 $\displaystyle E[Y_n]=1000(1.05)^{-(35+n)}\left(\frac{95}{100}\right)^{35+n}=1000\left(\frac{95}{105}\right)^{35+n}$이다. 김이화 과장은 최대 36번까지 퇴직금 수령액 1000만원씩을 수령할 수 있는 데, 이때 퇴직금액의 현재가치는 $\displaystyle S_2=E[Y_1]+\cdots+E[Y_{36}]$로 나타낼 수 있고, 위 수열은 첫째항이 $\displaystyle 1000\left(\frac{95}{105}\right)^{36}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{95}{105}$인 등비수열의 1항부터 36항까지 합이므로$\displaystyle \begin{aligned}S_2&=E[Y_1]+\cdots+E[Y_{36}]=1000\left(\frac{95}{105}\right)^{36}\frac{1-\left(\frac{95}{105}\right)^{36}}{1-\frac{95}{105}}\\&\approx1000\cdot0.027\cdot(1-0.027)\cdot10.5=275.8455\end{aligned}$이다.

퇴직금의 현재가치와 적립금의 현재가치가 같도록 납입금액 $\displaystyle K$를 책정한다고 하였으므로 $\displaystyle S_1=S_2$가 되도록 $\displaystyle K$의 값을 정하면 대략 $\displaystyle \frac{275.8455}{9.1665}\approx30.01$만원이 된다.Correction. 제시된 두 수의 비 $\displaystyle 275.8455/9.1665$는 약 $\displaystyle 30.0928$이다. 소수 둘째 자리까지 쓴 $\displaystyle 30.01$은 $\displaystyle 30.09$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.