자연계열 II 3번

(1) 주어진 두 직선 $\displaystyle l_1,l_2$이 $\displaystyle y=x$ 대칭이므로 원의 중심 $\displaystyle (x_n,y_n)$은 $\displaystyle y=x$ 위의 점 $\displaystyle (x_n,x_n)$으로 주어진다. 구하는 원 $\displaystyle C_n$의 반지름 $\displaystyle r_n$은 직선 $\displaystyle y=\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}x$ 와 $\displaystyle (x_n,x_n)$의 거리이므로$\displaystyle r_n=\frac{\left|\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}x_n-x_n\right|}{\sqrt{\left(\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}\right)^2+1}}=\left(\frac{2\tan\theta}{\sqrt2\sec\theta}\right)x_n=\sqrt2\sin\theta\,x_n$ 이다.따라서 중심의 좌표는 $\displaystyle (x_n,y_n)=\left(\frac1{\sqrt2\sin\theta}r_n,\frac1{\sqrt2\sin\theta}r_n\right)$이다.

(2) 두 원 $\displaystyle C_n,C_{n+1}$의 중심점 사이의 거리는 두 원의 반지름의 합과 같으므로 다음 식을 얻는다.$\displaystyle r_n+r_{n+1}=\sqrt2(x_n-x_{n+1})=\frac1{\sin\theta}(r_n-r_{n+1})$따라서 구하는 반지름의 비율 $\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$ 이다.

(3) 원 $\displaystyle C_n$의 둘레는 $\displaystyle 2\pi r_n$ 이므로 주어진 문제는 공비가 $\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$(=상수) 로 주어진 무한등비급수이다. 이때, 주어진 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi4$ 에 대하여 반지름의 비율 $\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$이 구간 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1},1\right)$에 속하므로 무한등비급수는 수렴하며 값은$\displaystyle \frac{2\pi r_1}{1-\frac{r_{n+1}}{r_n}}=\frac{2\pi r_1}{1-\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=2015\pi\left(\frac{1+\sin\theta}{\sin\theta}\right)$ 이다.

(4) 공비 $\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$을 $\displaystyle r$이라 하면 원 $\displaystyle C_n$의 반지름 $\displaystyle r_n$은 $\displaystyle r_n=1\cdot r^{n-1}$으로 표시되며 수열 $\displaystyle a_n=\frac{2\sqrt{r_nr_{n+1}}}{\sqrt{r_n}+\sqrt{r_{n+1}}}$은 다음과 같이 변형된다.$\displaystyle a_n=\frac{2\sqrt{r_nr_{n+1}}}{\sqrt{r_n}+\sqrt{r_{n+1}}}=\frac{2r^{\frac{2n-1}2}}{r^{\frac{n-1}2}+r^{\frac n2}}=\frac{2\sqrt r}{\sqrt r+1}(\sqrt r)^{n-1}$따라서 수열 $\displaystyle a_n$은 첫째 항이 $\displaystyle \frac{2\sqrt r}{\sqrt r+1}$이고 공비가 $\displaystyle \sqrt r$인 등비수열이다. 공비 $\displaystyle \sqrt r$이 $\displaystyle 1$보다 작은 양수이므로 주어진 무한급수의 합은$\displaystyle \frac{\left(\frac{2\sqrt r}{\sqrt r+1}\right)}{1-\sqrt r}=\frac{2\sqrt r}{1-r}=\frac{2\left(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\right)}{1-\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta$ 으로 구해진다.(여기서 $\displaystyle \sqrt r=\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=\sqrt{\frac{(1-\sin\theta)^2}{(1-\sin^2\theta)}}=\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}$ 이다.)따라서 주어진 문제는$\displaystyle \lim_{\theta\to+0}\theta\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\sqrt{r_nr_{n+1}}}{\sqrt{r_n}+\sqrt{r_{n+1}}}\right)=\lim_{\theta\to+0}\theta(\cot\theta)=1$ 로 구해진다.