자연계열 I 2번

(1) 직선 $\displaystyle x+y-3=0$이 타원 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$과 만나지 않음을 보이는 것과 같은 문제이다.기울기가 $\displaystyle -1$인 직선이 타원 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$ 접하는 것은 $\displaystyle y=-x\pm\sqrt{4(-1)^2+1}=-x\pm\sqrt5$이며 $\displaystyle 3>\sqrt5$이므로 직선 $\displaystyle x+y-3=0$은 타원 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$과 만나지 않는다.

(2) 실수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle (x-y-5)+m(x+y-3)=0$을 만족하는 점들은 점 $\displaystyle (4,-1)$을 지나고 기울기 $\displaystyle -\frac{m+1}{m-1}$인 직선을 나타낸다. 타원 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$ 밖의 점 $\displaystyle (4,-1)$을 지나는 기울기 $\displaystyle a$인 직선 $\displaystyle y=a(x-4)-1$이 타원을 지나려면 $\displaystyle |-4a-1|\le\sqrt{4a^2+1}$을 만족하여야 하므로, $\displaystyle -\frac23\le a\le0$이다. 따라서 구하려는 실수 $\displaystyle m$은 $\displaystyle -\frac23\le-\frac{m+1}{m-1}\le0$를 만족하고 $\displaystyle -5\le m\le-1$이다.

(3) 주어진 식의 값을 $\displaystyle a$이라고 두면 $\displaystyle \frac{x-y-5}{x+y-3}=a$이므로 실수 $\displaystyle a$의 범위는 문제 (2)를 만족하는 $\displaystyle -m$의 범위와 같다. 따라서 최댓값은 5이며 최솟값은 1이다.