자연계열 II 1번

(1) 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle x_n\le y_n$이 성립함을 알고 있고, 첫 번째 조건 $\displaystyle 0<x_1<y_1$에 의해 등호가 성립하지 않음을 알 수 있어서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x_n<y_n$이 참이다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}x_n&=\sqrt{x_nx_n}<\sqrt{x_ny_n}=x_{n+1}\\y_{n+1}&=\frac{x_n+y_n}2<\frac{y_n+y_n}2=y_n\end{aligned}$이 성립한다.

(2) 산술평균과 기하평균의 관계와 $\displaystyle 0<x_1<y_1$에서$\displaystyle 0<y_{n+1}-x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}2-\sqrt{x_ny_n}<\frac{x_n+y_n}2-\sqrt{x_nx_n}=\frac{x_n+y_n}2-x_n=\frac{y_n-x_n}2$을 얻을 수 있고, 수학적 귀납법을 적용하면 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<y_{n+1}-x_{n+1}<\frac1{2^n}(y_1-x_1)$이 성립한다.

(3) $\displaystyle x_1$과 $\displaystyle y_1$이 상수이므로 $\displaystyle n$값이 커짐에 따라 $\displaystyle \frac1{2^n}(y_1-x_1)\to0$이다.만약에 $\displaystyle \{x_n\}$이 극한값 $\displaystyle x$에 수렴하면, $\displaystyle \frac1{2^n}(y_1-x_1)+x_{n+1}$도 $\displaystyle n$이 커짐에 따라 $\displaystyle x$에 수렴하고, (2)의 부등식을 $\displaystyle x_{n+1}<y_{n+1}<\frac1{2^n}(y_1-x_1)+x_{n+1}$으로 변형하면, 스퀴즈 정리에 의해 $\displaystyle \{y_n\}$도 수렴하는 수열이고 그 극한값이 $\displaystyle x$이다.$\displaystyle \{y_n\}$이 극한값 $\displaystyle y$에 수렴하는 경우, (2)의 부등식을 $\displaystyle y_{n+1}-\frac1{2^n}(y_1-x_1)<x_{n+1}<y_{n+1}$으로 변형하여 스퀴즈 정리를 적용하면 $\displaystyle \{x_n\}$이 $\displaystyle y$로 수렴하는 수열임을 보일 수 있다.