자연계열 II 2번

(1) 직선 $\displaystyle x+y-3=0$이 타원 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$과 만나지 않음을 보이는 것과 같은 문제이다.기울기가 $\displaystyle -1$인 직선이 타원 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$ 접하는 것은 $\displaystyle y=-x\pm\sqrt{4(-1)^2+1}=-x\pm\sqrt5$이며 $\displaystyle 3>\sqrt5$이므로 직선 $\displaystyle x+y-3=0$은 타원 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$과 만나지 않는다.

(2) 타원 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$ 밖의 점 $\displaystyle (4,-1)$을 지나는 기울기 $\displaystyle m$인 직선 $\displaystyle y=m(x-4)-1$이 타원을 지나지 않으려면 $\displaystyle |-4m-1|>\sqrt{4m^2+1}$을 만족하여야 하므로, 구하는 범위는 $\displaystyle m>0$또는 $\displaystyle m<-\frac23$이다.

(3) 주어진 식의 값을 $\displaystyle a$이라고 두면 $\displaystyle \frac{x-y-5}{x+y-3}=a$이므로, 직선 $\displaystyle (x-y-5)-a(x+y-3)=0$이 타원 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$을 지나도록 하는 실수 $\displaystyle a$의 범위를 구하는 문제와 같다. 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle (x-y-5)-a(x+y-3)=0$을 만족하는 점들은 점 $\displaystyle (4,-1)$을 지나고 기울기 $\displaystyle \frac{1-a}{a+1}$인 직선을 나타내며, 문제 (2)에서 기울기 $\displaystyle \frac{1-a}{a+1}$인 직선이 타원을 지나려면 $\displaystyle -\frac23\le\frac{1-a}{a+1}\le0$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle 1\le a\le5$으로 구해지며 실수 $\displaystyle a$의 최댓값은 5이며 최솟값은 1이다.