자연계열 II 3번

(1) $\displaystyle x_{n+1}$은 점 $\displaystyle (x_n,f(x_n))$에서 그은 $\displaystyle f(x)$의 접선의 $\displaystyle x$-축 절편이므로$\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}=x_n-\frac{\ln x_n}{(1/x_n)}=x_n(1-\ln x_n)$을 만족한다.이 점화식을 활용하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x_n\le x_{n+1}<1$이 성립함을 보이도록 하자.i. 먼저 수열의 조건으로부터 $\displaystyle 0<x_1<1$이 성립한다.ii. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<x_n<1$이 성립한다고 가정하자.이 경우 $\displaystyle 0<-\ln x_n<1$이 되므로 $\displaystyle 0<x_n<x_n(1-\ln x_n)=x_{n+1}$이 성립한다.Comment. $\displaystyle 0<x_n<1$이면 $\displaystyle -\ln x_n>0$이지만, $\displaystyle -\ln x_n<1$이라고 할 수는 없다. 예를 들어 $\displaystyle x_n=e^{-2}$이면 $\displaystyle -\ln x_n=2$이다. 다음 부등식 $\displaystyle x_n<x_n(1-\ln x_n)$을 얻는 데에는 $\displaystyle -\ln x_n>0$이면 충분하다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편, 함수 $\displaystyle f(x)=x-x\ln x$는 $\displaystyle 0<x<1$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\ln x>0$이고 $\displaystyle f(1)=1$이므로 $\displaystyle f(x)<1$이 된다. 즉, $\displaystyle x_{n+1}=x_n(1-\ln x_n)<1$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle x_n<x_{n+1}<1$이 성립한다.결론적으로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x_n\le x_{n+1}<1$이 성립한다.

[명제]에 의하여 수열 $\displaystyle \{x_n\}$은 수렴한다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\alpha$라 하면, 점화식으로부터$\displaystyle \alpha=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}x_n(1-\ln x_n)=\alpha(1-\ln\alpha)$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle \alpha=0$이거나 $\displaystyle \alpha=1$이 된다. $\displaystyle 0<x_1<x_n$이므로 $\displaystyle \alpha=1$이 된다.Comment. $\displaystyle \alpha=0$일 때 $\displaystyle \ln\alpha$는 정의되지 않으므로, $\displaystyle \alpha=\alpha(1-\ln\alpha)$에서 $\displaystyle \alpha=0$을 해로 둘 수는 없다. 물론 대학 예시답안은 뒤에서 $\displaystyle x_n\ge x_1>0$을 이용하여 $\displaystyle \alpha=0$을 배제하고 $\displaystyle \alpha=1$을 올바르게 구하였다.

(2) $\displaystyle x_{n+1}$은 점 $\displaystyle (x_n,f(x_n))$에서 그은 $\displaystyle f(x)$의 접선의 $\displaystyle x$-축 절편이므로$\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}=x_n-\frac{e^{x_n}}{e^{x_n}}=x_n-1$을 만족한다. 이 점화식으로부터 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x_{n+1}=x_1-n$이 성립한다. 따라서 수열 $\displaystyle \{x_n\}$은 $\displaystyle -\infty$로 발산한다.

(3) $\displaystyle f(x)=\tan x$

$\displaystyle x_{n+1}$은 점 $\displaystyle (x_n,f(x_n))$에서 그은 $\displaystyle f(x)$의 접선의 $\displaystyle x$-축 절편이므로$\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}=x_n-\frac{\tan x_n}{\sec^2 x_n}=x_n-\frac12\sin2x_n$을 만족한다.이 점화식을 활용하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x_n\ge x_{n+1}>0$이 성립함을 보이도록 하자.i. 먼저 수열의 조건으로부터 $\displaystyle 0<x_1<1$이 성립한다.ii. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<x_n<1$이 성립한다고 가정하자.

함수 $\displaystyle f(x)=x-\frac12\sin2x$는 $\displaystyle 0<x<1$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\cos2x>0$이고 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)>0$이 된다. 즉, $\displaystyle 0<x_n<1$에 대하여 $\displaystyle 0<\frac12\sin2x_n<x_n$이 되어 $\displaystyle 0<x_n-\frac12\sin2x_n<x_n<1$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle 0<x_{n+1}<x_n<1$이 성립한다.결론적으로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<x_n<1$이 성립한다.[명제]에 의하여 수열 $\displaystyle \{x_n\}$은 수렴한다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\alpha$라 하면, 점화식으로부터$\displaystyle \alpha=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(x_n-\frac12\sin2x_n\right)=\alpha-\frac12\sin2\alpha$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle \alpha=0$이 된다.